首都师范大学 2026年数学分析第0题

被积函数分母为 $x^2+4y^2$，令其为零得 $x=0, y=0$，即原点 $(0,0)$ 是唯一奇点。由于积分路径 $C: x^2+y^2=1$ 是单位圆周，原点位于其内部，因此不能直接应用格林公式，需要挖掉奇点处理。

记 $P = \frac{x-y}{x^2+4y^2}$，$Q = \frac{x+4y}{x^2+4y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{8y(x-y)}{(x^2+4y^2)^2},$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{x^2+4y^2} - \frac{2x(x+4y)}{(x^2+4y^2)^2}.$$ 相减得： $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{x^2+4y^2} + \frac{-2x(x+4y)+8y(x-y)}{(x^2+4y^2)^2}.$$ 分子化简：$-2x^2-8xy+8xy-8y^2 = -2(x^2+4y^2)$，代入得： $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{x^2+4y^2} - \frac{2}{x^2+4y^2} = 0.$$ 因此，除原点外，旋度处处为零。

取小椭圆 $C_\varepsilon: x^2+4y^2 = \varepsilon^2$（$\varepsilon$ 充分小），方向取逆时针。由格林公式，在 $C$ 与 $C_\varepsilon$ 所围成的环形区域（不含原点）上，旋度为零，故有： $$\oint_C - \oint_{C_\varepsilon} = 0 \quad \Rightarrow \quad \oint_C = \oint_{C_\varepsilon}.$$ （注意：这里 $C$ 和 $C_\varepsilon$ 均取逆时针方向，环形区域内部无奇点，因此格林公式成立。）

在 $C_\varepsilon$ 上，分母 $x^2+4y^2 = \varepsilon^2$ 为常数，因此： $$\oint_{C_\varepsilon} \frac{(x-y)dx+(x+4y)dy}{x^2+4y^2} = \frac{1}{\varepsilon^2} \oint_{C_\varepsilon} (x-y)dx+(x+4y)dy.$$ 对右侧积分应用格林公式（小椭圆内部无奇点）： $$\oint_{C_\varepsilon} (x-y)dx+(x+4y)dy = \iint_{D_\varepsilon} \left( \frac{\partial (x+4y)}{\partial x} - \frac{\partial (x-y)}{\partial y} \right) dxdy = \iint_{D_\varepsilon} 2 \, dxdy = 2 \cdot \text{Area}(D_\varepsilon).$$ 椭圆 $D_\varepsilon: x^2+4y^2 \leq \varepsilon^2$ 的面积：标准形式 $\frac{x^2}{\varepsilon^2}+\frac{y^2}{(\varepsilon/2)^2}=1$，面积 $= \pi \cdot \varepsilon \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\pi \varepsilon^2}{2}$。代入得： $$\oint_{C_\varepsilon} (x-y)dx+(x+4y)dy = 2 \cdot \frac{\pi \varepsilon^2}{2} = \pi \varepsilon^2.$$ 因此： $$\oint_{C_\varepsilon} \frac{(x-y)dx+(x+4y)dy}{x^2+4y^2} = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot \pi \varepsilon^2 = \pi.$$

由第三步的等式 $\oint_C = \oint_{C_\varepsilon}$ 及第四步计算结果 $\oint_{C_\varepsilon} = \pi$，立即得到原积分： $$\oint_C \frac{(x-y)dx+(x+4y)dy}{x^2+4y^2} = \pi.$$