首都师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积和绝对可积，若有
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right), x \in[-\pi, \pi] .
$$
证明：
$$
f^{\prime}(x) \sim \frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(n b_{n}+(-1)^{n} c\right) \cos n x-n a_{n} \sin n x\right], x \in[-\pi, \pi] .
$$
其中 $\displaystyle c=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{\pi}$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n-1} n b_{n}\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出f(x)的傅里叶系数公式
设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续，且 $f'(x)$ 可积和绝对可积，则 $f(x)$ 的傅里叶级数系数为：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.$$
公式：$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$, $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$
提示：注意傅里叶系数的定义式，积分区间为 $[-\pi, \pi]$。
步骤 2/7
目标：设f'(x)的傅里叶级数形式并写出系数表达式
设 $f'(x)$ 的傅里叶级数为
$$f'(x) \sim \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (A_n \cos nx + B_n \sin nx),$$
其中系数为
$$A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos(nx) \, dx, \quad B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \sin(nx) \, dx.$$
公式：$A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos(nx) \, dx$, $B_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \sin(nx) \, dx$
提示：这里 $A_n$ 和 $B_n$ 是待求的系数，需要与 $a_n, b_n$ 建立联系。
步骤 3/7
目标：用分部积分计算A_n（n≥1）
对 $A_n$ 进行分部积分：令 $u = \cos(nx)$, $dv = f'(x) dx$，则 $du = -n \sin(nx) dx$, $v = f(x)$，得到
$$A_n = \frac{1}{\pi} \left[ f(x) \cos(nx) \bigg|_{-\pi}^{\pi} + n \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \right].$$
由于 $\cos(n\pi) = \cos(-n\pi) = (-1)^n$，边界项为 $(-1)^n (f(\pi) - f(-\pi))$，而积分项为 $\pi b_n$，因此
$$A_n = n b_n + \frac{(-1)^n}{\pi} (f(\pi) - f(-\pi)).$$
公式：$A_n = n b_n + \frac{(-1)^n}{\pi} (f(\pi) - f(-\pi))$
提示：分部积分时注意边界项的处理，$\cos(n\pi)$ 的值为 $(-1)^n$。
步骤 4/7
目标：用分部积分计算B_n（n≥1）
对 $B_n$ 进行分部积分：令 $u = \sin(nx)$, $dv = f'(x) dx$，则 $du = n \cos(nx) dx$, $v = f(x)$，得到
$$B_n = \frac{1}{\pi} \left[ f(x) \sin(nx) \bigg|_{-\pi}^{\pi} - n \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \right].$$
由于 $\sin(n\pi) = \sin(-n\pi) = 0$，边界项为 $0$，而积分项为 $\pi a_n$，因此
$$B_n = -n a_n.$$
公式：$B_n = -n a_n$
提示：正弦函数在端点处为零，边界项消失，简化了结果。
步骤 5/7
目标：计算常数项A_0并引入常数c
对于 $n=0$，有
$$A_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \, dx = \frac{f(\pi) - f(-\pi)}{\pi}.$$
定义常数 $c = \frac{f(\pi) - f(-\pi)}{\pi}$，则常数项为 $\frac{A_0}{2} = \frac{c}{2}$。同时，$A_n$ 可改写为 $A_n = n b_n + (-1)^n c$。
公式：$c = \frac{f(\pi) - f(-\pi)}{\pi}$, $A_n = n b_n + (-1)^n c$
提示：注意题目中给出的 $c$ 定义可能有误，实际应为 $f(\pi)-f(-\pi)$ 除以 $\pi$，否则后续结论不成立。
步骤 6/7
目标：证明极限关系：c = lim (-1)^{n-1} n b_n
对 $b_n$ 进行分部积分：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = -\frac{1}{n\pi} \left[ f(x) \cos(nx) \bigg|_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos(nx) \, dx \right].$$
边界项为 $(-1)^n (f(\pi) - f(-\pi))$，因此
$$n b_n = -\frac{(-1)^n}{\pi} (f(\pi) - f(-\pi)) + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \cos(nx) \, dx.$$
由黎曼-勒贝格引理，积分项趋于 $0$，故
$$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} n b_n = \frac{f(\pi) - f(-\pi)}{\pi} = c.$$
公式：$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} n b_n = c$
提示：利用黎曼-勒贝格引理处理积分项的极限，注意符号变化。
步骤 7/7
目标：综合得到f'(x)的傅里叶级数形式
将上述结果代入 $f'(x)$ 的傅里叶级数表达式：
$$f'(x) \sim \frac{c}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n b_n + (-1)^n c) \cos nx - n a_n \sin nx \right],$$
其中 $c = \frac{f(\pi) - f(-\pi)}{\pi}$，且满足极限关系 $c = \lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} n b_n$。
公式：$f'(x) \sim \frac{c}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (n b_n + (-1)^n c) \cos nx - n a_n \sin nx \right]$
提示：最终结果需注意常数项和余弦项系数的形式，与题目中给出的表达式一致（需修正c的定义）。
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