首都师范大学 2026年数学分析第0题

要证明 $f(x,y)$ 在原点连续，即证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，有 $|f(x,y)| = \left| x - y + \frac{xy^2}{x^2+y^2} \right| \le |x| + |y| + \frac{|x|y^2}{x^2+y^2}$。由于 $\frac{y^2}{x^2+y^2} \le 1$，所以第三项 $\le |x|$，因此 $|f(x,y)| \le 2|x|+|y|$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，右边趋于 $0$，由夹逼定理得极限为 $0$，故函数在原点连续。

设方向为单位向量 $\mathbf{l}=(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数定义为 $\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-f(0,0)}{t}$。代入函数表达式（$t\neq0$）：$f(t\cos\theta,t\sin\theta)=t\cos\theta - t\sin\theta + \frac{t\cos\theta \cdot t^2\sin^2\theta}{t^2\cos^2\theta + t^2\sin^2\theta}$。分母为 $t^2$，第三项化简为 $t\cos\theta\sin^2\theta$，所以 $f(t\cos\theta,t\sin\theta)=t(\cos\theta - \sin\theta + \cos\theta\sin^2\theta)$。差商为 $\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)}{t}= \cos\theta - \sin\theta + \cos\theta\sin^2\theta$，与 $t$ 无关，极限存在且等于该表达式。

由方向导数公式，取 $\theta=0$（沿 $x$ 轴正向）得 $f_x(0,0)=1$；取 $\theta=\frac{\pi}{2}$（沿 $y$ 轴正向）得 $f_y(0,0)=-1$。若函数在原点可微，则全微分应为 $df(0,0)=1\cdot dx + (-1)\cdot dy$，即 $f(x,y)=x-y+o(\sqrt{x^2+y^2})$。

实际函数表达式为 $f(x,y)=x-y+\frac{xy^2}{x^2+y^2}$，因此余项为 $R(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}$。可微要求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。考虑路径 $y=x$，则 $\frac{R(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x\cdot x^2}{(x^2+x^2)\sqrt{2}|x|} = \frac{x^3}{2\sqrt{2}|x|x^2} = \frac{x}{2\sqrt{2}|x|}$。当 $x\to0^+$ 时，该比值为 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$，不为 $0$，因此极限不存在（或不为 $0$），故函数在原点不可微。