首都师范大学 2026年数学分析第0题

积分表达式为 \(\iint_{S} x^{2} \, dy\,dz + y^{2} \, dz\,dx + z^{2} \, dx\,dy\)，其中 \(S\) 是球面 \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2\) 的外侧。这是一个封闭曲面上的第二类曲面积分，且被积函数具有连续偏导数，因此可以使用高斯公式： \[ \iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \] 这里 \(P = x^2\), \(Q = y^2\), \(R = z^2\)，\(V\) 是球体 \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 \le R^2\)。

计算散度： \[ \frac{\partial P}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z \] 因此 \[ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) \] 原曲面积分化为三重积分： \[ \iint_{S} x^{2} \, dy\,dz + y^{2} \, dz\,dx + z^{2} \, dx\,dy = \iiint_{V} 2(x+y+z) \, dV \]

作变量平移：令 \(u = x - a\), \(v = y - b\), \(w = z - c\)，则球心在原点，球体变为 \(u^2+v^2+w^2 \le R^2\)，且 \(x = u + a\), \(y = v + b\), \(z = w + c\)。于是 \[ x+y+z = (u+v+w) + (a+b+c) \] 三重积分化为： \[ \iiint_{V} 2(x+y+z) \, dV = 2\iiint_{V} (u+v+w) \, dV + 2(a+b+c)\iiint_{V} 1 \, dV \] 其中积分区域 \(V\) 在 \(u,v,w\) 坐标系下是球心在原点的球体。

第一个积分：由于积分区域关于原点对称，且 \(u, v, w\) 是奇函数，故 \[ \iiint_{V} u \, dV = 0, \quad \iiint_{V} v \, dV = 0, \quad \iiint_{V} w \, dV = 0 \] 因此 \(\iiint_{V} (u+v+w) \, dV = 0\)。 第二个积分：球体体积为 \(\frac{4}{3}\pi R^3\)，所以 \[ \iiint_{V} 1 \, dV = \frac{4}{3}\pi R^3 \]

将两个积分结果代入： \[ \iiint_{V} 2(x+y+z) \, dV = 2 \times 0 + 2(a+b+c) \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8\pi R^3}{3}(a+b+c) \] 因此原曲面积分为： \[ \boxed{\dfrac{8\pi R^{3}}{3}(a+b+c)} \]