首都师范大学 2026年数学分析第0题

定义函数 $f_n(x) = x^{n+1} + x^n + \cdots + x - 1$，定义域为 $(0,1)$。计算端点值：当 $x \to 0^+$ 时，$f_n(0^+) = -1 < 0$；当 $x = 1$ 时，$f_n(1) = n - 1 \geq 0$（$n \geq 1$）。对于 $n=1$，$f_1(1)=0$，但方程 $x^2+x-1=0$ 的正根为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618 \in (0,1)$，故端点分析表明函数在区间端点异号或存在根。

求导得 $f_n'(x) = (n+1)x^n + n x^{n-1} + \cdots + 1$，由于 $x > 0$ 时每一项均为正，故 $f_n'(x) > 0$，因此 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递增。

由 $f_n(0^+) < 0$ 且 $f_n(1) \geq 0$（$n \geq 2$ 时 $f_n(1)>0$，$n=1$ 时根已存在），结合 $f_n$ 连续且严格递增，根据介值定理，存在唯一 $x_n \in (0,1)$ 使得 $f_n(x_n)=0$。

由 $x_n^{n+1}+x_n^n+\cdots+x_n=1$，左边是首项 $x_n$、公比 $x_n$、项数 $n+1$ 的等比数列求和，得 $\frac{x_n(1-x_n^{n+1})}{1-x_n}=1$。

整理 $\frac{x_n(1-x_n^{n+1})}{1-x_n}=1$ 得 $x_n(1-x_n^{n+1})=1-x_n$，即 $x_n - x_n^{n+2}=1-x_n$，移项得 $2x_n = 1 + x_n^{n+2}$，故 $x_n = \frac{1 + x_n^{n+2}}{2}$。

由于 $0 < x_n < 1$，有 $x_n^{n+2} > 0$，代入 $x_n = \frac{1 + x_n^{n+2}}{2} > \frac{1}{2}$。同时 $x_n^{n+2} < 1$，故 $x_n < 1$。进一步，由方程 $x_n + x_n^2 + \cdots + x_n^{n+1}=1$，若 $x_n \geq a > 1/2$，则左边和至少为 $a + a^2 + \cdots + a^{n+1}$，当 $n$ 充分大时该和超过1（因为 $a/(1-a) > 1$），矛盾，故 $x_n$ 不能远离 $1/2$。

设 $\lim_{n\to\infty} x_n = L$（由单调有界性知极限存在）。由 $\frac{x_n(1-x_n^{n+1})}{1-x_n}=1$，当 $n\to\infty$ 时，若 $L<1$，则 $x_n^{n+1} \to 0$，取极限得 $\frac{L}{1-L}=1$，解得 $L=\frac{1}{2}$。若 $L=1$，则 $x_n^{n+1}$ 不趋于0，但此时左边和 $\approx n+1$ 远大于1，矛盾。故 $L=\frac{1}{2}$。