首都师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（10 分）证明：当 $\displaystyle \lambda<1$ 时， $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} R^{\lambda} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R \sin \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分在R很大时的行为，并考虑将积分区间分段
当 $R \to +\infty$ 时，被积函数 $e^{-R\sin\theta}$ 在 $\theta=0$ 附近衰减最慢，因为 $\sin\theta$ 很小。因此，我们将积分区间 $[0,\pi/2]$ 分成两段：$[0,\delta]$ 和 $[\delta,\pi/2]$，其中 $\delta>0$ 是一个待定的小量（可固定，例如取 $\delta=\pi/4$）。于是：
\[
\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta = \int_0^\delta e^{-R\sin\theta}\,d\theta + \int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta.
\]
公式：\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta = \int_0^\delta e^{-R\sin\theta}\,d\theta + \int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta
提示：注意：$\delta$ 的选择要使得在 $[0,\delta]$ 上可以用 $\sin\theta$ 的线性下界估计，在 $[\delta,\pi/2]$ 上 $\sin\theta$ 有正下界。
步骤 2/4
目标：估计远离0的部分（$\theta \ge \delta$）
当 $\theta \in [\delta, \pi/2]$ 时，$\sin\theta \ge \sin\delta > 0$，因此：
\[
\int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\delta}\,d\theta = \left(\frac{\pi}{2}-\delta\right) e^{-R\sin\delta} \le \frac{\pi}{2} e^{-R\sin\delta}.
\]
乘以 $R^\lambda$ 得：
\[
R^\lambda \int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \frac{\pi}{2} R^\lambda e^{-R\sin\delta}.
\]
由于指数衰减 $e^{-R\sin\delta}$ 比任何幂函数 $R^\lambda$ 衰减都快，故当 $R\to+\infty$ 时，此项趋于 $0$。
公式：R^\lambda \int_\delta^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \frac{\pi}{2} R^\lambda e^{-R\sin\delta} \to 0 \quad (R\to+\infty)
提示：这里用到了指数衰减主导幂函数增长的性质，即 $\lim_{R\to+\infty} R^\alpha e^{-cR}=0$ 对任意 $\alpha>0$ 和 $c>0$ 成立。
步骤 3/4
目标：估计靠近0的部分（$\theta \in [0,\delta]$）
在 $\theta \in [0,\delta]$ 上，利用不等式 $\sin\theta \ge \frac{2}{\pi}\theta$（对 $0\le\theta\le\pi/2$ 成立），有：
\[
\int_0^\delta e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \int_0^\delta e^{-R\cdot\frac{2}{\pi}\theta}\,d\theta = \frac{1 - e^{-\frac{2R}{\pi}\delta}}{\frac{2R}{\pi}} \le \frac{\pi}{2R}.
\]
乘以 $R^\lambda$ 得：
\[
R^\lambda \int_0^\delta e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \frac{\pi}{2} R^{\lambda-1}.
\]
由于 $\lambda < 1$，故 $\lambda-1 < 0$，因此当 $R\to+\infty$ 时，$R^{\lambda-1} \to 0$，从而此项趋于 $0$。
公式：R^\lambda \int_0^\delta e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \frac{\pi}{2} R^{\lambda-1} \to 0 \quad (R\to+\infty, \lambda<1)
提示：关键是用 $\sin\theta \ge \frac{2}{\pi}\theta$ 将积分放缩为可计算的指数积分，并注意 $\lambda-1<0$ 保证幂函数衰减。
步骤 4/4
目标：综合两部分，完成证明
由前两步，对任意固定的 $\delta>0$（例如 $\delta=\pi/4$），有：
\[
0 \le R^\lambda \int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta \le \frac{\pi}{2} R^{\lambda-1} + \frac{\pi}{2} R^\lambda e^{-R\sin\delta}.
\]
当 $R\to+\infty$ 时，右边两项均趋于 $0$（第一项因 $\lambda<1$，第二项因指数衰减）。由夹逼定理，原极限为 $0$。即：
\[
\lim_{R\to+\infty} R^\lambda \int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta = 0, \quad \forall \lambda < 1.
\]
公式：\lim_{R\to+\infty} R^\lambda \int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\theta}\,d\theta = 0
提示：证明中使用了夹逼定理，注意两部分估计的放缩要合理，且 $\delta$ 的选取不影响极限结果。
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