首都师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $x, y \in I$ 且 $|x - y| < \delta$ 时，一定有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到某个固定的 $\varepsilon_0 > 0$，使得无论 $\delta$ 多小，总可以找到两点 $x, y$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in I: |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续是全局性质，否定形式需要构造反例点对。
步骤 2/4
目标：构造合适的点列
考虑点列 $x_n = 2n\pi$，$y_n = 2n\pi + \frac{1}{n}$，其中 $n$ 为正整数。当 $n$ 充分大时，两点距离 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n}$ 可以任意小。计算函数值：$f(x_n) = 2n\pi \cdot \sin(2n\pi) = 0$；$f(y_n) = \left(2n\pi + \frac{1}{n}\right) \sin\left(2n\pi + \frac{1}{n}\right) = \left(2n\pi + \frac{1}{n}\right) \sin\left(\frac{1}{n}\right)$。
公式：$x_n = 2n\pi, \quad y_n = 2n\pi + \frac{1}{n}$
提示：选择 $y_n$ 时需保证 $\sin(y_n)$ 不为零且与 $x_n$ 距离可控。
步骤 3/4
目标：估计函数值差的下界
利用不等式：当 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin\theta \ge \frac{2}{\pi}\theta$。对于足够大的 $n$，$\frac{1}{n}$ 很小，有 $\sin\left(\frac{1}{n}\right) \ge \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}$（例如 $n \ge 2$ 时成立）。于是 $|f(y_n) - f(x_n)| = \left(2n\pi + \frac{1}{n}\right) \sin\left(\frac{1}{n}\right) \ge \left(2n\pi\right) \cdot \frac{1}{2n} = \pi$。
公式：$|f(y_n)-f(x_n)| \ge \pi$
提示：严格证明中可用 $\sin\theta \ge \frac{2}{\pi}\theta$ 或 $\sin\theta \ge \frac{\theta}{2}$（$\theta$ 充分小）。
步骤 4/4
目标：取定 epsilon_0 并完成证明
取 $\varepsilon_0 = 1$（或任何小于 $\pi$ 的正数）。对任意 $\delta > 0$，取正整数 $n > \frac{1}{\delta}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} < \delta$，但 $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \pi > 1 = \varepsilon_0$。因此不存在满足一致连续条件的 $\delta$，故 $f(x)=x\sin x$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致连续。
公式：$\exists \varepsilon_0=1>0, \forall \delta>0, \exists n>1/\delta: |x_n-y_n|<\delta \text{ 且 } |f(x_n)-f(y_n)|\ge \varepsilon_0$
提示：注意 $\varepsilon_0$ 必须固定，且点对依赖于 $\delta$。
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