上海理工大学 2024年数学分析第1题

利用对数性质化简分子：$\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x)$。

利用反正切差公式：$\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$，其中$u=1+x$，$v=1-x$。计算得：$\arctan(1+x)-\arctan(1-x) = \arctan\frac{(1+x)-(1-x)}{1+(1+x)(1-x)} = \arctan\frac{2x}{1+1-x^2} = \arctan\frac{2x}{2-x^2}$。

当$x\to 0$时，$\ln(1+x) \sim x$，$\ln(1-x) \sim -x$，所以分子$\ln(1+x)-\ln(1-x) \sim x - (-x) = 2x$。同时，分母中$\frac{2x}{2-x^2} \to 0$，所以$\arctan\frac{2x}{2-x^2} \sim \frac{2x}{2-x^2}$。因此原极限化为：$\lim_{x\to 0} \frac{2x}{\frac{2x}{2-x^2}} = \lim_{x\to 0} (2-x^2) = 2$。

得到极限为2，但题目答案为$\frac{1}{2}$。说明上述推导有误。重新审视：分子$\ln\frac{1+x}{1-x}$在$x\to 0$时，$\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+\frac{2x}{1-x})$，而$\frac{2x}{1-x}\to 0$，所以$\ln(1+\frac{2x}{1-x}) \sim \frac{2x}{1-x}$。分母$\arctan(1+x)-\arctan(1-x)$，利用公式得$\arctan\frac{2x}{2-x^2}$，且$\frac{2x}{2-x^2}\to 0$，所以$\arctan\frac{2x}{2-x^2} \sim \frac{2x}{2-x^2}$。因此极限为$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2x}{1-x}}{\frac{2x}{2-x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2-x^2}{1-x} = 2$。仍然得到2。说明答案可能为2？但题目给出$\frac{1}{2}$，需再检查。

正确做法：$\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+\frac{2x}{1-x})$，当$x\to 0$时，$\frac{2x}{1-x}\to 0$，所以$\ln(1+\frac{2x}{1-x}) \sim \frac{2x}{1-x}$。分母$\arctan(1+x)-\arctan(1-x) = \arctan\frac{2x}{2-x^2} \sim \frac{2x}{2-x^2}$。因此极限$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2x}{1-x}}{\frac{2x}{2-x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2-x^2}{1-x} = 2$。但题目答案为$\frac{1}{2}$，说明可能分母等价无穷小有误？或者题目答案有误？

直接使用洛必达法则：分子导数$\frac{d}{dx}\ln\frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{2}{1-x^2}$。分母导数$\frac{d}{dx}[\arctan(1+x)-\arctan(1-x)] = \frac{1}{1+(1+x)^2} + \frac{1}{1+(1-x)^2} = \frac{1}{2+2x+x^2} + \frac{1}{2-2x+x^2}$。当$x=0$时，分子导数为2，分母导数为$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，所以极限为$\frac{2}{1}=2$。因此极限应为2，而非$\frac{1}{2}$。题目答案可能有误。

通过洛必达法则和等价无穷小替换均得到极限为2。因此原极限为2，而非$\frac{1}{2}$。但题目给出答案为$\frac{1}{2}$，可能是印刷错误。根据严谨推导，正确答案应为2。