上海理工大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)}-x$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别极限类型并引入函数
令 $f(x) = \sqrt[n]{(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)} - x$。当 $x \to +\infty$ 时，根式部分 ~ $x$，因此极限是 $\infty - \infty$ 型不定式。
提示：注意识别不定式类型，为后续变换做准备。
步骤 2/6
目标：提取公因子 x
将根式部分改写为 $g(x) = x \sqrt[n]{\left(1-\frac{a_1}{x}\right)\left(1-\frac{a_2}{x}\right)\cdots\left(1-\frac{a_n}{x}\right)}$。
公式：$\sqrt[n]{(x-a_1)\cdots(x-a_n)} = x \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \left(1-\frac{a_i}{x}\right)}$
提示：确保提取 x 后根号内每个因子都正确。
步骤 3/6
目标：变量代换简化表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $t \to 0^+$，且 $f(x) = \frac{1}{t} \left[ \sqrt[n]{(1-a_1 t)(1-a_2 t)\cdots(1-a_n t)} - 1 \right]$。
公式：$x = \frac{1}{t}$
提示：注意 t 趋近于 0 的正方向。
步骤 4/6
目标：展开乘积并利用等价无穷小
计算乘积：$(1-a_1 t)(1-a_2 t)\cdots(1-a_n t) = 1 - (a_1+a_2+\cdots+a_n)t + O(t^2)$。令 $h(t) = \sqrt[n]{1 - (\sum a_i)t + O(t^2)}$。当 $u \to 0$ 时，$(1+u)^{1/n} - 1 \sim \frac{u}{n}$，因此 $h(t) = 1 - \frac{1}{n}(\sum a_i)t + O(t^2)$。
公式：$(1+u)^{1/n} - 1 \sim \frac{u}{n}$ 当 $u \to 0$
提示：注意展开到一阶项，高阶项不影响极限。
步骤 5/6
目标：代入并求极限
将 $h(t)$ 代入 $f(x)$ 表达式：$f(x) = \frac{1}{t} \left[ -\frac{1}{n}(\sum a_i)t + O(t^2) \right] = -\frac{\sum a_i}{n} + O(t)$。当 $t \to 0$ 时，极限为 $-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$。
公式：$\lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{n}(\sum a_i)t + O(t^2)}{t} = -\frac{\sum a_i}{n}$
提示：注意 O(t^2)/t 的极限为 0。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原极限为 $-\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$。
提示：结果与算术平均有关，注意符号为负。
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