上海理工大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1．计算极限：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[m]{1+\alpha x} \sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
$$
其中 $\displaystyle m>0$ 且 $\displaystyle n>0$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将根式写为指数形式
将 $\sqrt[m]{1+\alpha x}$ 和 $\sqrt[n]{1+\beta x}$ 分别写为 $(1+\alpha x)^{1/m}$ 和 $(1+\beta x)^{1/n}$，则原极限变为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{(1+\alpha x)^{1/m}(1+\beta x)^{1/n} - 1}{x}$$
公式：$\sqrt[k]{a} = a^{1/k}$
提示：注意根指数在分母，不要写反。
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$(1+u)^k - 1 \sim k u$，其中 $u \to 0$。但这里乘积形式不能直接替换，需先展开。考虑将分子写成 $e^{\frac{1}{m}\ln(1+\alpha x) + \frac{1}{n}\ln(1+\beta x)} - 1$，然后利用 $e^u - 1 \sim u$（$u \to 0$）。
公式：$(1+u)^k - 1 \sim k u$，$e^u - 1 \sim u$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$u \to 0$。
步骤 3/5
目标：取对数并展开
令 $f(x) = \frac{1}{m}\ln(1+\alpha x) + \frac{1}{n}\ln(1+\beta x)$。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+\alpha x) \sim \alpha x$，$\ln(1+\beta x) \sim \beta x$，所以 $f(x) \sim \left(\frac{\alpha}{m} + \frac{\beta}{n}\right)x$。因此 $e^{f(x)} - 1 \sim f(x)$。
公式：$\ln(1+u) \sim u$
提示：注意对数展开的精度，这里只需一阶。
步骤 4/5
目标：计算极限
原极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{m}\ln(1+\alpha x) + \frac{1}{n}\ln(1+\beta x)}{x}$。再利用等价无穷小替换：$\frac{1}{m}\ln(1+\alpha x) \sim \frac{\alpha}{m}x$，$\frac{1}{n}\ln(1+\beta x) \sim \frac{\beta}{n}x$，所以极限为 $\frac{\alpha}{m} + \frac{\beta}{n}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$
提示：注意极限的四则运算，分子分母同时除以x。
步骤 5/5
目标：验证结果
得到极限为 $\frac{\alpha}{m} + \frac{\beta}{n}$，与答案一致。
提示：可以代入特殊值验证，如 $m=n=1$ 时，极限为 $\alpha+\beta$，与直接计算一致。
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