📝 上海理工大学 2025年数学分析真题
第1题
1．计算极限：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[m]{1+\alpha x} \sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
$$
其中 $\displaystyle m>0$ 且 $\displaystyle n>0$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[m]{1+\alpha x} \sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
$$
其中 $\displaystyle m>0$ 且 $\displaystyle n>0$
第2题
2．求极限：
$$
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}
$$
$$
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}
$$
第3题
3．设
$$
a_{n}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{n \text { 个根号 }} .
$$
讨论数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限是否存在。若存在，请求出极限；若不存在，请说明理由
$$
a_{n}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{n \text { 个根号 }} .
$$
讨论数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限是否存在。若存在，请求出极限；若不存在，请说明理由
第4题
4．求不定积分：
$$
\int x^{5} e^{x^{3}} d x
$$
5.
$$
\text { 已知 } F(x z, y z)=0, F \text { 是光滑曲线, 求 } \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \text {. }
$$
$$
\int x^{5} e^{x^{3}} d x
$$
5.
$$
\text { 已知 } F(x z, y z)=0, F \text { 是光滑曲线, 求 } \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \text {. }
$$
第6题
6．讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性
第7题
7．计算：
$$
\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
$$
$$
\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
$$
第8题
8．试计算：
$$
\oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
$$
其中 $C$ 是任意封闭曲线
$$
\oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
$$
其中 $C$ 是任意封闭曲线
第9题
9．讨论：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (\alpha y)}{y} d y
$$
在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致收敛 $\displaystyle (a>0)$
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (\alpha y)}{y} d y
$$
在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致收敛 $\displaystyle (a>0)$
第10题
10．判别级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}} \quad(p>0)
$$
的敛散性。如果收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}} \quad(p>0)
$$
的敛散性。如果收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？
第11题
11．求幂级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}
$$
的收玫区间，并求其和函数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}
$$
的收玫区间，并求其和函数：
第12题
12．求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的平行于平面 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 的切平面。
第13题
13．证明：
$$
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<e, \quad \forall x>0
$$
$$
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<e, \quad \forall x>0
$$
第14题
14．对任意 $x$ 及 $h$ 均有
$$
f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x)
$$
证明：$\displaystyle f(x)=b x+c$ ，此处 $\displaystyle b, c$ 是常数
$$
f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x)
$$
证明：$\displaystyle f(x)=b x+c$ ，此处 $\displaystyle b, c$ 是常数
第15题
15．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数
$$
y=x-\arctan x
$$
的图像
$$
y=x-\arctan x
$$
的图像