上海理工大学 2025年数学分析第15题
📝 题目
15．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数
$$
y=x-\arctan x
$$
的图像
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定定义域
函数 $y = x - \arctan x$ 由多项式函数 $x$ 和反正切函数 $\arctan x$ 组成，两者在 $\mathbb{R}$ 上均有定义，因此定义域为 $\mathbb{R}$。
提示：注意反正切函数的定义域是全体实数。
步骤 2/8
目标：分析值域
由于 $\arctan x$ 的值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，当 $x \to -\infty$ 时，$\arctan x \to -\frac{\pi}{2}$，$y \to -\infty$；当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，$y \to +\infty$。又函数连续，故值域为 $\mathbb{R}$。
提示：值域可通过极限和连续性判断。
步骤 3/8
目标：判断奇偶性
计算 $f(-x) = -x - \arctan(-x) = -x + \arctan x = -(x - \arctan x) = -f(x)$，因此函数是奇函数，图像关于原点对称。
提示：注意 $\arctan(-x) = -\arctan x$。
步骤 4/8
目标：求单调性
求导得 $y' = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \geq 0$，且仅在 $x=0$ 时 $y'=0$。因此函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
公式：$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$
提示：导数非负且仅有限个零点，函数严格单调递增。
步骤 5/8
目标：求凹凸性与拐点
二阶导 $y'' = \frac{2x}{(1+x^2)^2}$。当 $x<0$ 时 $y''<0$，函数上凸；当 $x>0$ 时 $y''>0$，函数下凸；$x=0$ 时 $y''=0$ 且两侧凹凸性相反，故 $(0,0)$ 为拐点。
公式：$y'' = \frac{2x}{(1+x^2)^2}$
提示：拐点处二阶导为零且两侧异号。
步骤 6/8
目标：求渐近线
考虑斜渐近线：斜率 $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{\arctan x}{x}\right) = 1$；截距 $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - x) = \lim_{x \to \pm\infty} (-\arctan x) = \mp \frac{\pi}{2}$。因此有两条斜渐近线：$x \to +\infty$ 时 $y = x - \frac{\pi}{2}$；$x \to -\infty$ 时 $y = x + \frac{\pi}{2}$。
公式：$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\arctan x}{x}=0$
提示：注意 $\arctan x$ 在正负无穷处的极限不同。
步骤 7/8
目标：求极值
由 $y' \geq 0$ 且仅在 $x=0$ 处为零，函数单调递增，故无极值点。
提示：导数不变号则无极值。
步骤 8/8
目标：描点与画图
计算特殊点：$x=0$ 时 $y=0$；$x=1$ 时 $y=1-\frac{\pi}{4}\approx 0.2146$；$x=-1$ 时 $y=-1+\frac{\pi}{4}\approx -0.2146$。结合奇函数、单调递增、凹凸性、渐近线，画出图像：过原点，$x<0$ 上凸，$x>0$ 下凸，渐近线 $y=x\pm\frac{\pi}{2}$。
提示：画图时注意渐近线在无穷远处逼近。
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