上海理工大学 2025年数学分析第14题
📝 题目
14．对任意 $x$ 及 $h$ 均有
$$
f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x)
$$
证明：$\displaystyle f(x)=b x+c$ ，此处 $\displaystyle b, c$ 是常数
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并利用条件
由已知条件，对任意 $x$ 及 $h$ 有 $f(x+h)-f(x)=h f'(x)$。固定 $x$，考虑函数 $g(h)=f(x+h)-f(x)-h f'(x)$，则 $g(h)=0$ 对所有 $h$ 成立。
公式：g(h)=f(x+h)-f(x)-h f'(x)=0
提示：注意固定x，将h视为变量，构造恒为零的函数。
步骤 2/7
目标：对h求导得到导数关系
对 $g(h)$ 关于 $h$ 求导得 $g'(h)=f'(x+h)-f'(x)=0$，因此 $f'(x+h)=f'(x)$ 对所有 $h$ 成立。这意味着导函数 $f'$ 是常数函数。
公式：g'(h)=f'(x+h)-f'(x)=0
提示：求导时注意链式法则，$f(x+h)$ 对h的导数为 $f'(x+h)$。
步骤 3/7
目标：设导数为常数
由 $f'(x+h)=f'(x)$ 对所有 $h$ 成立，可知 $f'$ 是常数函数。设 $f'(x)=b$（常数）。
公式：f'(x)=b
提示：常数b是任意实数。
步骤 4/7
目标：利用原条件得到差分关系
将 $f'(x)=b$ 代入原条件 $f(x+h)-f(x)=h f'(x)$，得 $f(x+h)-f(x)=h b$。取 $h=1$ 得 $f(x+1)-f(x)=b$，即 $f(x+1)=f(x)+b$。
公式：f(x+1)=f(x)+b
提示：注意h=1是特殊取值，但条件对任意h成立。
步骤 5/7
目标：构造周期函数
考虑函数 $h(x)=f(x)-b x$，则 $h(x+1)=f(x+1)-b(x+1)=f(x)+b-bx-b=f(x)-bx=h(x)$，所以 $h$ 是周期为1的周期函数。
公式：h(x)=f(x)-bx, h(x+1)=h(x)
提示：周期函数的构造是常用技巧。
步骤 6/7
目标：利用原条件直接得到线性形式
由 $f(x+h)-f(x)=h b$ 对任意 $h$ 成立，取 $h=-x$ 得 $f(0)-f(x)=-x b$，即 $f(x)=f(0)+b x$。令 $c=f(0)$，则 $f(x)=b x+c$。
公式：f(x)=f(0)+bx
提示：取h=-x时需注意定义域，但条件对任意x和h成立，所以可行。
步骤 7/7
目标：结论
因此，$f(x)$ 必为线性函数 $f(x)=b x+c$，其中 $b,c$ 是常数。
公式：f(x)=bx+c
提示：验证：代入原条件，左边=b(x+h)+c-(bx+c)=bh，右边=h*b，成立。
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