上海理工大学 2025年数学分析第13题
📝 题目
13．证明：
$$
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<e, \quad \forall x>0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化不等式为对数形式
要证明 $(1+\frac{1}{x})^x < e$ 对 $x>0$ 成立，两边取自然对数，等价于证明 $x \ln(1+\frac{1}{x}) < 1$。令 $f(x) = x \ln(1+\frac{1}{x})$，则只需证明 $f(x) < 1$。
公式：\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)
提示：注意对数函数的单调性，不等式方向不变。
步骤 2/5
目标：变量替换简化问题
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $t > 0$，且 $x = \frac{1}{t}$。代入得 $f(x) = \frac{1}{t} \ln(1+t)$。因此原不等式等价于证明 $\frac{\ln(1+t)}{t} < 1$，即 $\ln(1+t) < t$ 对所有 $t>0$ 成立。
公式：t = \frac{1}{x}, \quad f(x) = \frac{\ln(1+t)}{t}
提示：替换后注意定义域：$t>0$。
步骤 3/5
目标：构造函数并求导
考虑函数 $g(t) = t - \ln(1+t)$，$t>0$。求导得 $g'(t) = 1 - \frac{1}{1+t} = \frac{t}{1+t}$。由于 $t>0$，所以 $g'(t) > 0$，因此 $g(t)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递增。
公式：g(t) = t - \ln(1+t), \quad g'(t) = \frac{t}{1+t}
提示：求导时注意复合函数求导法则：$\frac{d}{dt} \ln(1+t) = \frac{1}{1+t}$。
步骤 4/5
目标：利用单调性证明不等式
由于 $g(t)$ 在 $t>0$ 时严格递增，且 $g(0) = 0 - \ln(1+0) = 0$，因此对任意 $t>0$，有 $g(t) > g(0) = 0$，即 $t - \ln(1+t) > 0$，所以 $\ln(1+t) < t$。
公式：g(t) > g(0) \Rightarrow t > \ln(1+t)
提示：注意 $g(0)$ 的值需要计算极限：$\lim_{t\to 0^+} g(t)=0$，但严格来说 $g(0)$ 未定义，这里用极限理解。
步骤 5/5
目标：回代得到原不等式
由 $\ln(1+t) < t$ 得 $\frac{\ln(1+t)}{t} < 1$，即 $f(x) < 1$，所以 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x < e$。证毕。
公式：\left(1+\frac{1}{x}\right)^x < e
提示：回代时注意 $t=1/x$，确保 $x>0$。
步骤 6/6
目标：回代得到原不等式
由 $t > \ln(1+t)$ 得 $\frac{\ln(1+t)}{t} < 1$，即 $f(x) < 1$，所以 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x < e$。
公式：$\frac{\ln(1+t)}{t} < 1$
提示：注意不等式方向：由 $t > \ln(1+t)$ 两边除以正数 $t$ 得 $1 > \frac{\ln(1+t)}{t}$。
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