上海理工大学 2025年数学分析第12题
📝 题目
12．求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的平行于平面 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 的切平面。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立曲面方程并求法向量
设曲面方程为 $F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-21=0$。曲面上点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为梯度 $\nabla F = (2x_0, 4y_0, 6z_0)$。
公式：$\nabla F = (F_x, F_y, F_z)$
提示：注意梯度是偏导数组成的向量，不要忘记系数。
步骤 2/6
目标：利用平行条件建立方程
切平面平行于平面 $x+4y+6z=0$，因此法向量平行于该平面的法向量 $(1,4,6)$。存在实数 $\lambda$ 使得 $(2x_0,4y_0,6z_0)=\lambda(1,4,6)$。
公式：$\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 \iff \vec{n}_1 = \lambda \vec{n}_2$
提示：注意平行包括同向和反向，$\lambda$ 可正可负。
步骤 3/6
目标：解出切点坐标与参数的关系
由 $(2x_0,4y_0,6z_0)=\lambda(1,4,6)$ 得 $2x_0=\lambda$, $4y_0=4\lambda$, $6z_0=6\lambda$，解得 $x_0=\frac{\lambda}{2}$, $y_0=\lambda$, $z_0=\lambda$。
提示：解方程时注意系数约简，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：代入曲面方程求参数
将 $x_0=\frac{\lambda}{2}$, $y_0=\lambda$, $z_0=\lambda$ 代入曲面方程 $x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=21$，得 $\left(\frac{\lambda}{2}\right)^2+2\lambda^2+3\lambda^2=21$，即 $\frac{\lambda^2}{4}+5\lambda^2=21$，合并得 $\frac{21\lambda^2}{4}=21$，解得 $\lambda^2=4$，$\lambda=\pm2$。
提示：代入后要仔细合并同类项，注意 $\frac{\lambda^2}{4}+5\lambda^2 = \frac{21\lambda^2}{4}$。
步骤 5/6
目标：确定切点坐标
当 $\lambda=2$ 时，$x_0=1$, $y_0=2$, $z_0=2$，切点为 $(1,2,2)$；当 $\lambda=-2$ 时，$x_0=-1$, $y_0=-2$, $z_0=-2$，切点为 $(-1,-2,-2)$。
提示：注意 $\lambda$ 的两个值对应两个切点，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：写出切平面方程
切平面法向量为 $(1,4,6)$。对于切点 $(1,2,2)$，切平面方程为 $1\cdot(x-1)+4\cdot(y-2)+6\cdot(z-2)=0$，化简得 $x+4y+6z=21$。对于切点 $(-1,-2,-2)$，切平面方程为 $1\cdot(x+1)+4\cdot(y+2)+6\cdot(z+2)=0$，化简得 $x+4y+6z=-21$。
公式：点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
提示：注意点法式方程中法向量分量与点坐标的对应，化简时小心符号。
步骤 7/7
目标：总结答案
所求切平面为 $x+4y+6z=21$ 或 $x+4y+6z=-21$。
提示：答案应包含两个平面，不要遗漏。
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