上海理工大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限：
$$
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限形式并取对数
原极限为 $\lim_{x \to a} \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$，这是 $1^\infty$ 型不定式。令 $L = \lim_{x \to a} \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$，则 $\ln L = \lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \ln\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)$。
公式：对于 $1^\infty$ 型极限，常用取对数法：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) \ln f(x)}$。
提示：注意检查是否为 $1^\infty$ 型：当 $x \to a$ 时，$\frac{\sin x}{\sin a} \to 1$，指数 $\frac{1}{x-a} \to \infty$。
步骤 2/4
目标：将极限转化为 $\frac{0}{0}$ 型
计算 $\ln L = \lim_{x \to a} \frac{\ln(\sin x) - \ln(\sin a)}{x-a}$。当 $x \to a$ 时，分子 $\to 0$，分母 $\to 0$，故为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
提示：注意 $\ln\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right) = \ln(\sin x) - \ln(\sin a)$，且 $\ln(\sin a)$ 是常数。
步骤 3/4
目标：应用洛必达法则
对分子分母分别求导：分子导数为 $\frac{\cos x}{\sin x}$，分母导数为 $1$。因此 $\ln L = \lim_{x \to a} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a$。
公式：洛必达法则：若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$，且 $f'(x), g'(x)$ 存在，则 $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
提示：求导时注意 $\frac{d}{dx} \ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$。
步骤 4/4
目标：还原极限值
由 $\ln L = \cot a$，得 $L = e^{\cot a}$。因此原极限为 $e^{\cot a}$。
提示：取对数后要记得还原：若 $\ln L = A$，则 $L = e^A$。
步骤 5/5
目标：还原指数形式
由 $\ln L = \cot a$ 得 $L = e^{\cot a}$。因此原极限为 $\lim_{x \to a} \left( \frac{\sin x}{\sin a} \right)^{\frac{1}{x-a}} = e^{\cot a}$。
公式：$L = e^{\ln L}$
提示：注意指数还原，不要忘记指数函数。
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