上海理工大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．设
$$
a_{n}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{n \text { 个根号 }} .
$$
讨论数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限是否存在。若存在，请求出极限；若不存在，请说明理由
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义数列并建立递推关系
设 $a_n = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{n \text{ 个根号}}$，则 $a_1 = \sqrt{2}$，且 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$。
公式：$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$
提示：注意递推关系中的根号嵌套结构，确保理解 $a_n$ 的定义。
步骤 2/7
目标：证明数列单调递增
用数学归纳法证明 $a_{n+1} > a_n$。
- 当 $n=1$ 时，$a_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_1$，成立。
- 假设 $a_k > a_{k-1}$，则 $a_{k+1} = \sqrt{2+a_k} > \sqrt{2+a_{k-1}} = a_k$，所以 $a_{n+1} > a_n$ 对一切 $n$ 成立。
提示：归纳假设要明确，注意不等式方向。
步骤 3/7
目标：证明数列有上界
证明 $a_n < 2$。
- 当 $n=1$ 时，$a_1 = \sqrt{2} < 2$。
- 假设 $a_k < 2$，则 $a_{k+1} = \sqrt{2+a_k} < \sqrt{2+2} = 2$，所以 $a_n < 2$ 对一切 $n$ 成立。
提示：上界2是通过递推式猜想的，注意验证初始项。
步骤 4/7
目标：应用单调有界定理
由单调递增且有上界，根据单调有界定理，数列 $\{a_n\}$ 极限存在。设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
提示：单调有界定理是极限存在的重要定理，注意条件必须同时满足。
步骤 5/7
目标：对递推式取极限
对递推式 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 两边取极限，得 $L = \sqrt{2 + L}$。
公式：$L = \sqrt{2 + L}$
提示：取极限时，由于 $a_n$ 收敛，$a_{n+1}$ 也收敛到同一极限。
步骤 6/7
目标：解方程求极限值
将方程 $L = \sqrt{2 + L}$ 两边平方得 $L^2 = 2 + L$，即 $L^2 - L - 2 = 0$。解得 $L = 2$ 或 $L = -1$。由于 $a_n > 0$，舍去 $L = -1$，故 $L = 2$。
公式：$L^2 - L - 2 = 0$
提示：平方可能引入增根，需根据数列正负性舍去。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此数列 $\{a_n\}$ 极限存在，且极限为 $2$。
提示：最终答案要明确。
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