上海理工大学 2025年数学分析第11题
📝 题目
11．求幂级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}
$$
的收玫区间，并求其和函数：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求收敛半径
对于幂级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}\)，令 \(a_n = n^2\)。收敛半径公式为 \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\)。计算：
\[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = 1. \]
公式：R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
提示：注意 \(a_n\) 是系数，不含 \(x\) 的幂次。
步骤 2/8
目标：判断端点收敛性
当 \(x = 1\) 时，级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} n^2\)，通项 \(n^2\) 不趋于0，故发散。当 \(x = -1\) 时，级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2\)，通项绝对值 \(n^2\) 不趋于0，故发散。因此收敛区间为 \((-1, 1)\)。
提示：端点处需单独判断，常用通项趋于0的必要条件。
步骤 3/8
目标：引入已知幂级数
考虑几何级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}\)，其中 \(|x| < 1\)。这是求和函数的基础。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}, \quad |x|<1
提示：注意几何级数从 \(n=1\) 开始，首项为 \(x\)。
步骤 4/8
目标：第一次求导得到 \(\sum n x^{n-1}\)
对 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}\) 逐项求导：
\[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}. \]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}
提示：逐项求导在收敛区间内成立，注意求导后级数起始索引不变。
步骤 5/8
目标：第二次求导得到 \(\sum n(n-1) x^{n-2}\)
对 \(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\) 再求导：
\[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \right) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1-x)^2} \right) = \frac{2}{(1-x)^3}. \]
公式：\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}
提示：求导后起始索引变为 \(n=2\)，因为 \(n=1\) 项导数为0。
步骤 6/8
目标：调整索引得到 \(\sum n(n-1) x^{n-1}\)
将上式两边乘以 \(x\)：
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} = \frac{2x}{(1-x)^3}. \]
公式：\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} = \frac{2x}{(1-x)^3}
提示：乘以 \(x\) 后，级数变为从 \(n=2\) 开始，但 \(n=1\) 项为0，故可写为 \(\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1}\)。
步骤 7/8
目标：分解 \(n^2\) 并求和
利用恒等式 \(n^2 = n(n-1) + n\)，则和函数 \(S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\)。代入已知结果：
\[ S(x) = \frac{2x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2}. \]
公式：n^2 = n(n-1) + n
提示：分解技巧是处理 \(n^k\) 级数的常用方法。
步骤 8/8
目标：化简和函数
通分合并：
\[ S(x) = \frac{2x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{2x + (1-x)}{(1-x)^3} = \frac{1+x}{(1-x)^3}. \]
公式：S(x) = \frac{1+x}{(1-x)^3}
提示：注意 \(x \in (-1,1)\)，分母不为零。
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