上海理工大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10．判别级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}} \quad(p>0)
$$
的敛散性。如果收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确级数类型
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}$，其中 $p>0$，这是一个交错级数，因为通项符号交替变化。
提示：注意 $(-1)^{n-1}$ 表示第一项为正，第二项为负，依次交替。
步骤 2/7
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$。这是一个 $p$ 级数。
公式：$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $0
提示：不要混淆 $p$ 级数的收敛条件：$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散。
步骤 3/7
目标：得出绝对收敛结论
由 $p$ 级数收敛性可知，当 $p>1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 收敛，因此原级数绝对收敛。
提示：绝对收敛意味着原级数收敛且绝对值级数也收敛。
步骤 4/7
目标：分析条件收敛性
当 $0
提示：条件收敛要求原级数收敛但绝对值级数发散。
步骤 5/7
目标：应用莱布尼茨判别法
对于交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$，其中 $a_n = \frac{1}{n^{p}}$。由于 $p>0$，$a_n$ 单调递减趋于 $0$（因为 $\frac{1}{n^{p}}$ 随 $n$ 增大而减小且极限为 $0$）。由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，则交错级数 $\sum (-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
提示：必须验证两个条件：单调递减和极限为0。$p>0$ 时 $1/n^p$ 确实单调递减趋于0。
步骤 6/7
目标：得出条件收敛结论
因此，当 $0
提示：注意 $p=1$ 时，$\sum 1/n$ 发散，但交错调和级数收敛，是条件收敛的典型例子。
步骤 7/7
目标：总结敛散性
综上所述：当 $p>1$ 时，级数绝对收敛；当 $0
提示：不要遗漏 $p=1$ 的情况，它属于条件收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。