上海理工大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9．讨论：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (\alpha y)}{y} d y
$$
在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致收敛 $\displaystyle (a>0)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题背景与积分收敛性
考虑含参变量 $\alpha$ 的广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy$，积分区间为 $[0,+\infty)$。当 $y \to 0^+$ 时，$\frac{\sin(\alpha y)}{y} \to \alpha$，故 $y=0$ 不是瑕点。无穷远处的收敛性可通过变量代换 $t = \alpha y$ 转化为经典的 Dirichlet 积分：$\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$，因此对每个固定的 $\alpha > 0$，原积分条件收敛。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}
提示：注意 $\alpha > 0$ 时积分收敛，但 $\alpha=0$ 时积分恒为 0，此处讨论 $a>0$ 保证 $\alpha$ 远离 0。
步骤 2/6
目标：定义一致收敛性并转化问题
一致收敛要求：对任意 $\varepsilon > 0$，存在与 $\alpha$ 无关的 $R > 0$，使得对所有 $\alpha \in [a,b]$，有 $\left| \int_R^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy \right| < \varepsilon$。考虑余项 $I(R,\alpha) = \int_R^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy$，通过变量代换 $u = \alpha y$ 得 $I(R,\alpha) = \int_{\alpha R}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} du$。
公式：I(R,\alpha) = \int_{\alpha R}^{+\infty} \frac{\sin u}{u} du
提示：变量代换后积分下限依赖于 $\alpha$，这是分析一致收敛的关键。
步骤 3/6
目标：利用已知余项估计式
对任意 $A > 0$，有 $\left| \int_A^{+\infty} \frac{\sin u}{u} du \right| \le \frac{2}{A}$。证明：分部积分得 $\int_A^\infty \frac{\sin u}{u} du = \left[ -\frac{\cos u}{u} \right]_A^\infty - \int_A^\infty \frac{\cos u}{u^2} du$，绝对值不超过 $\frac{1}{A} + \int_A^\infty \frac{1}{u^2} du = \frac{2}{A}$。代入 $A = \alpha R$ 得 $|I(R,\alpha)| \le \frac{2}{\alpha R}$。
公式：\left| \int_A^{+\infty} \frac{\sin u}{u} du \right| \le \frac{2}{A}
提示：该估计是粗糙但有效的，注意 $\alpha > 0$ 保证分母不为零。
步骤 4/6
目标：利用 $\alpha \ge a > 0$ 得到一致上界
由于 $\alpha \in [a,b]$ 且 $a > 0$，有 $\alpha \ge a$，从而 $\frac{2}{\alpha R} \le \frac{2}{a R}$。因此对任意 $\alpha \in [a,b]$，$|I(R,\alpha)| \le \frac{2}{a R}$。这个上界与 $\alpha$ 无关，只依赖于 $R$ 和 $a$。
公式：|I(R,\alpha)| \le \frac{2}{a R}
提示：这里 $a>0$ 是本质条件，若 $a=0$ 则无法得到一致上界。
步骤 5/6
目标：构造 $R$ 并验证一致收敛
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $R > \frac{2}{a \varepsilon}$，则对所有 $\alpha \in [a,b]$，有 $|I(R,\alpha)| \le \frac{2}{a R} < \varepsilon$。该 $R$ 的选取不依赖于 $\alpha$，因此满足一致收敛的定义。
公式：R > \frac{2}{a \varepsilon} \Rightarrow \frac{2}{a R} < \varepsilon
提示：注意 $R$ 必须足够大，且 $a$ 固定时 $R$ 与 $\varepsilon$ 成反比。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于对任意 $\varepsilon > 0$ 都能找到与 $\alpha$ 无关的 $R$ 使得余项一致小于 $\varepsilon$，故积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy$ 在 $[a,b]$（$a>0$）上一致收敛。
公式：\text{一致收敛}
提示：若区间包含 $\alpha=0$，则 $a$ 可任意接近 0，无法找到统一 $R$，故不一致收敛。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\alpha y)}{y} dy$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
提示：注意 $a>0$ 是关键条件，若 $a=0$ 则不一致收敛。
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