上海理工大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8．试计算：
$$
\oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}
$$
其中 $C$ 是任意封闭曲线
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别被积表达式并写出P和Q
将曲线积分写成标准形式：
\[
\oint_C \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \oint_C P\,dx + Q\,dy
\]
其中
\[
P = \frac{-y}{x^2+y^2}, \quad Q = \frac{x}{x^2+y^2}
\]
公式：P = -y/(x^2+y^2), Q = x/(x^2+y^2)
提示：注意分母在原点为零，原点是被积函数的奇点。
步骤 2/5
目标：验证恰当性（偏导数相等）
计算偏导数：
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) + y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2+y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2+y^2)^2}
\]
在除去原点的区域上，\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)，因此被积表达式是恰当的。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x = (-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
提示：恰当性意味着存在函数θ(x,y)使得dθ = (x dy - y dx)/(x^2+y^2)，实际上θ就是极角。
步骤 3/5
目标：应用格林公式讨论不包围原点的情况
若封闭曲线C不包围原点，则C所围成的区域D不包含奇点，且P、Q在D上连续可微。由格林公式：
\[
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \iint_D 0\,dx\,dy = 0
\]
公式：格林公式：∮_C P dx+Q dy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy
提示：当曲线不包围原点时，积分值为0。
步骤 4/5
目标：计算绕原点一周的积分（挖洞法）
当C包围原点时，取以原点为圆心、半径为r的小圆周C_r（逆时针方向），参数化：
\[
x = r\cos t, \quad y = r\sin t, \quad t: 0 \to 2\pi
\]
则
\[
dx = -r\sin t\,dt, \quad dy = r\cos t\,dt
\]
代入被积式：
\[
x\,dy - y\,dx = r\cos t \cdot r\cos t\,dt - r\sin t \cdot (-r\sin t\,dt) = r^2(\cos^2 t+\sin^2 t)\,dt = r^2\,dt
\]
分母 \(x^2+y^2 = r^2\)，所以
\[
\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = dt
\]
积分得：
\[
\oint_{C_r} = \int_0^{2\pi} dt = 2\pi
\]
公式：∮_{C_r} (x dy - y dx)/(x^2+y^2) = ∫_0^{2π} dt = 2π
提示：小圆周的积分值与半径r无关，恒为2π。
步骤 5/5
目标：推广到一般封闭曲线并给出最终结论
对于任意封闭曲线C：
- 若原点不在C内部，则积分值为0；
- 若原点在C内部，且曲线方向为逆时针，则积分值为\(2\pi\)；若方向为顺时针，则积分值为\(-2\pi\)。
更一般地，若曲线绕原点k圈（逆时针为正），则积分值为\(2\pi k\)。
题目中未指定方向，通常默认正向（逆时针）。
公式：∮_C (x dy - y dx)/(x^2+y^2) = 0（原点不在内部）或 2πk（原点在内部，k为绕向圈数）
提示：注意格林公式不能直接用于包含奇点的区域，需用挖洞法处理。
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