上海理工大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7．计算：
$$
\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二重积分化为极坐标形式
在极坐标下，令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。被积函数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ 变为 $\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$。积分区域 $D: x^2+y^2 \le 1$ 对应 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。因此原积分化为：
$$
\iint_D \frac{dx\,dy}{\sqrt{1-x^2-y^2}} = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr\,d\theta
$$
公式：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dxdy = r dr d\theta$
提示：注意极坐标变换时，面积元要乘以 $r$，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：计算内层对 $r$ 的积分
内层积分为 $\int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr$。令 $u = 1 - r^2$，则 $du = -2r\,dr$，即 $r\,dr = -\frac{1}{2}du$。当 $r=0$ 时 $u=1$，当 $r=1$ 时 $u=0$。于是：
$$
\int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr = \int_{u=1}^{0} \frac{-\frac12}{\sqrt{u}}\,du = \frac12 \int_0^1 u^{-\frac12}\,du
$$
公式：$\int \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} dr = -\sqrt{1-r^2} + C$ 或换元法
提示：换元时注意积分限的变化，从 $r$ 到 $u$ 时上下限要对应。
步骤 3/5
目标：计算换元后的积分
计算 $\frac12 \int_0^1 u^{-\frac12}\,du = \frac12 \left[ 2u^{\frac12} \right]_0^1 = \frac12 \cdot (2 - 0) = 1$。因此内层积分结果为 $1$。
公式：$\int_0^1 u^{-1/2} du = 2$
提示：注意 $u^{1/2}$ 在 $u=0$ 处为0，代入时不要出错。
步骤 4/5
目标：计算外层对 $\theta$ 的积分
外层积分为 $\int_0^{2\pi} 1\,d\theta = 2\pi$。
公式：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
提示：被积函数为常数1，直接积分即可。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将内外层积分结果相乘，得到原二重积分的值为 $1 \times 2\pi = 2\pi$。
公式：$\iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2}} = 2\pi$
提示：最终结果是一个常数，注意检查计算过程。
步骤 6/7
目标：计算外层关于 $\theta$ 的积分
外层积分 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。
提示：被积函数与 $\theta$ 无关，直接积分得 $2\pi$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
将内外层积分结果相乘：$2\pi \times 1 = 2\pi$。因此原积分的值为 $2\pi$。
提示：最终结果是一个常数，与 $\pi$ 有关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。