上海理工大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断连续性
计算极限 $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x}$。由于 $|x^2 \sin\frac{1}{x}| \leq x^2$，且 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$，由夹逼定理得 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：夹逼定理：若 $|g(x)| \leq h(x)$ 且 $\lim h(x)=0$，则 $\lim g(x)=0$
提示：注意 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近振荡，但 $x^2$ 趋于0，乘积趋于0。
步骤 2/5
目标：判断可微性
利用导数定义：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\frac{1}{h}}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\frac{1}{h}$。由于 $|h \sin\frac{1}{h}| \leq |h|$，且 $\lim_{h \to 0} |h| = 0$，故极限为0。因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可微，且 $f'(0)=0$。
公式：导数定义：$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
提示：注意 $h \sin\frac{1}{h}$ 的极限仍可用夹逼定理，不要误以为振荡无极限。
步骤 3/5
目标：求导函数表达式
当 $x \neq 0$ 时，利用乘积法则和链式法则求导：$f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$。
公式：$(uv)' = u'v + uv'$，$\frac{d}{dx}\sin\frac{1}{x} = \cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})$
提示：注意复合函数求导时，内层函数 $\frac{1}{x}$ 的导数为 $-\frac{1}{x^2}$，不要遗漏负号。
步骤 4/5
目标：分析导函数在0处的极限
考虑 $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \left(2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}\right)$。其中 $\lim_{x \to 0} 2x \sin\frac{1}{x} = 0$（类似连续性证明），但 $\lim_{x \to 0} \cos\frac{1}{x}$ 不存在，因为当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x} \to \infty$，余弦函数振荡。因此整体极限不存在。
公式：极限的四则运算法则：若一个极限存在，另一个不存在，则和的极限不存在
提示：不要误以为 $\cos\frac{1}{x}$ 有界就认为极限存在，有界且振荡时极限不存在。
步骤 5/5
目标：判断导函数的连续性
由于 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 不存在，而 $f'(0)=0$，所以 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。
公式：函数在一点连续当且仅当该点极限等于函数值
提示：注意：导函数不连续并不影响原函数的可微性，这是经典反例。
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