上海理工大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4．求不定积分：
$$
\int x^{5} e^{x^{3}} d x
$$
5.
$$
\text { 已知 } F(x z, y z)=0, F \text { 是光滑曲线, 求 } \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \text {. }
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：换元积分
令 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 dx$，$x^5 dx = x^3 \cdot x^2 dx = u \cdot \frac{du}{3}$。原积分化为 $\int x^5 e^{x^3} dx = \int u e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u e^u du$。
公式：$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$
提示：注意 $x^5 = x^3 \cdot x^2$，正确匹配 $du$ 中的 $x^2$。
步骤 2/7
目标：分部积分
对 $\int u e^u du$ 使用分部积分法：令 $p = u$，$dq = e^u du$，则 $dp = du$，$q = e^u$。于是 $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u + C$。
公式：$\int p \, dq = pq - \int q \, dp$
提示：分部积分时，选择 $u$ 为多项式函数，$e^u$ 为指数函数。
步骤 3/7
目标：回代并整理结果
将 $u = x^3$ 代回，得 $\frac{1}{3}(u e^u - e^u) + C = \frac{1}{3} e^{x^3}(x^3 - 1) + C$。
提示：不要忘记常数 $C$。
步骤 4/7
目标：隐函数求偏导：对x求偏导
设 $u = xz$，$v = yz$，则 $F(u,v)=0$。对 $x$ 求偏导（$y$ 视为常数）：$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0$，其中 $\frac{\partial u}{\partial x} = z + x \frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial x} = y \frac{\partial z}{\partial x}$。代入得 $F_u(z + x \frac{\partial z}{\partial x}) + F_v(y \frac{\partial z}{\partial x}) = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z F_u}{x F_u + y F_v}$。
公式：隐函数求导法则：$F_x + F_z \frac{\partial z}{\partial x}=0$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 都依赖于 $x$，求导时不要漏项。
步骤 5/7
目标：隐函数求偏导：对y求偏导
对 $y$ 求偏导（$x$ 视为常数）：$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0$，其中 $\frac{\partial u}{\partial y} = x \frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{\partial v}{\partial y} = z + y \frac{\partial z}{\partial y}$。代入得 $F_u(x \frac{\partial z}{\partial y}) + F_v(z + y \frac{\partial z}{\partial y}) = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z F_v}{x F_u + y F_v}$。
提示：对称性：注意 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式对称。
步骤 6/7
目标：求混合偏导：对∂z/∂x关于y求偏导
记 $A = x F_u + y F_v$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{z F_u}{A}$。对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{ \frac{\partial (z F_u)}{\partial y} \cdot A - z F_u \cdot \frac{\partial A}{\partial y} }{A^2}$。计算 $\frac{\partial (z F_u)}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} F_u + z (F_{uu} \frac{\partial u}{\partial y} + F_{uv} \frac{\partial v}{\partial y})$，$\frac{\partial A}{\partial y} = x (F_{uu} \frac{\partial u}{\partial y} + F_{uv} \frac{\partial v}{\partial y}) + F_v + y (F_{vu} \frac{\partial u}{\partial y} + F_{vv} \frac{\partial v}{\partial y})$。
公式：商的求导法则：$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
提示：注意 $F_u$ 和 $F_v$ 也是 $u,v$ 的函数，求导时需用链式法则。
步骤 7/7
目标：代入并化简
代入 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z F_v}{A}$，$\frac{\partial u}{\partial y} = x \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x z F_v}{A}$，$\frac{\partial v}{\partial y} = z + y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \frac{y z F_v}{A} = \frac{z(A - y F_v)}{A}$。代入上述表达式并化简，最终得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{z \left( F_u F_v + z (x F_u F_{vv} - y F_v F_{uu}) + z^2 (x F_{uv} F_{vv} - y F_{uu} F_{uv}) \right)}{(x F_u + y F_v)^3}$。
提示：化简过程繁琐，注意利用 $F_{uv}=F_{vu}$ 合并项。
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