东南大学 2025年数学分析第12题
📝 题目
12、记作 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\ln \left(1+n^{\alpha} x\right)}{n^{\beta}},(x>0, \alpha, \beta>0)$ ．
（1）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的玫散性．
（2）在 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 收玫的基础上，论其一致收敛性．
（3）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的可导性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析通项渐近行为，确定级数收敛的参数条件
对于固定的 $x>0$，当 $n\to\infty$ 时，$\ln(1+n^\alpha x) \sim \ln(n^\alpha x) = \alpha \ln n + \ln x$，因此 $u_n(x) \sim \frac{\alpha \ln n}{n^\beta}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^\beta}$ 在 $\beta>1$ 时收敛，在 $\beta\le 1$ 时发散，故原级数收敛当且仅当 $\beta>1$。
公式：$u_n(x) \sim \frac{\alpha \ln n}{n^\beta}$，$\sum \frac{\ln n}{n^\beta}$ 收敛 $\iff \beta>1$
提示：注意 $\ln(1+n^\alpha x)$ 的渐近展开要保留主项，忽略常数项不影响敛散性判断。
步骤 2/6
目标：讨论级数在整个区间 $(0,\infty)$ 上的一致收敛性
假设 $\beta>1$。考虑 $x\to +\infty$ 时，对任意固定的 $N$，$\sup_{x>0} \frac{\ln(1+N^\alpha x)}{N^\beta} = +\infty$，因此余项的上确界无界，级数在 $(0,\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\sup_{x>0} \sum_{n=N}^\infty u_n(x) \ge \sup_{x>0} \frac{\ln(1+N^\alpha x)}{N^\beta} = +\infty$
提示：不一致收敛的典型原因是函数在无穷远处无界，可通过反证法或直接取 $x$ 充分大说明。
步骤 3/6
目标：讨论级数在任意正闭区间 $[a,b]$ 上的一致收敛性
对任意 $[a,b]\subset(0,\infty)$，当 $x\in[a,b]$ 时，$\ln(1+n^\alpha x) \le \ln(1+n^\alpha b) \le \alpha\ln n + \ln(b+1)$，故存在常数 $C>0$ 使得 $u_n(x) \le C\frac{\ln n}{n^\beta}$。由于 $\sum \frac{\ln n}{n^\beta}$ 收敛且与 $x$ 无关，由 Weierstrass M-判别法知级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：$u_n(x) \le C\frac{\ln n}{n^\beta}$，$\sum C\frac{\ln n}{n^\beta}$ 收敛
提示：Weierstrass M-判别法要求找到与 $x$ 无关的优级数，注意对 $\ln(1+n^\alpha x)$ 的放缩要统一。
步骤 4/6
目标：求导并分析导函数级数的收敛性
计算 $u_n'(x)=\frac{1}{n^\beta}\cdot\frac{n^\alpha}{1+n^\alpha x}=\frac{n^{\alpha-\beta}}{1+n^\alpha x}$。当 $n\to\infty$ 时，$u_n'(x)\sim\frac{1}{n^\beta x}$，故对固定 $x>0$，$\sum u_n'(x)$ 在 $\beta>1$ 时收敛。
公式：$u_n'(x)=\frac{n^{\alpha-\beta}}{1+n^\alpha x}\sim\frac{1}{n^\beta x}$
提示：求导后注意分母 $1+n^\alpha x$ 的渐近行为，确保主项估计正确。
步骤 5/6
目标：证明导函数级数在任意正闭区间上一致收敛
在 $[a,b]\subset(0,\infty)$ 上，$u_n'(x)\le\frac{n^{\alpha-\beta}}{1+n^\alpha a}\le\frac{1}{a n^\beta}$。由于 $\sum\frac{1}{a n^\beta}$ 当 $\beta>1$ 时收敛且与 $x$ 无关，由 Weierstrass M-判别法知 $\sum u_n'(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：$u_n'(x)\le\frac{1}{a n^\beta}$，$\sum\frac{1}{a n^\beta}$ 收敛
提示：放缩时利用 $1+n^\alpha x \ge n^\alpha a$，注意 $a>0$ 保证分母不为零。
步骤 6/6
目标：应用逐项求导定理，得出可导性结论
由（2）知原级数在 $[a,b]$ 上一致收敛，且导函数级数在 $[a,b]$ 上一致收敛，根据函数项级数逐项求导定理，和函数 $S(x)=\sum u_n(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上可导，且 $S'(x)=\sum u_n'(x)$。
公式：$S'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\alpha-\beta}}{1+n^\alpha x}$
提示：逐项求导定理要求原级数在某点收敛且导函数级数一致收敛，这里原级数在任意 $x>0$ 收敛，导函数级数在任意闭区间一致收敛。
步骤 7/8
目标：应用逐项求导定理，得出可导性结论
由第二问，原级数在 $[a,b]$ 上一致收敛；由上述，导函数级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。根据函数项级数逐项求导定理，和函数 $S(x)=\sum u_n(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上可导，且 $S'(x)=\sum u_n'(x)$。注意 $x=0$ 不在定义域内，无需考虑。
公式：S'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\alpha-\beta}}{1+n^\alpha x} \quad (x>0, \beta>1)
提示：逐项求导定理要求原级数在某点收敛且导函数级数一致收敛，这里均满足。
步骤 8/8
目标：汇总三问结论
（1）级数收敛当且仅当 $\beta>1$；
（2）当 $\beta>1$ 时，在任意闭区间 $[a,b]\subset(0,\infty)$ 上一致收敛，但在 $(0,\infty)$ 上不一致收敛；
（3）当 $\beta>1$ 时，和函数在 $(0,\infty)$ 上可导，且导数可通过逐项求导得到。
提示：所有结论均以 $\beta>1$ 为前提，$\alpha$ 不影响敛散性和一致收敛性，但影响导数表达式。
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