东南大学 2025年数学分析第13题
📝 题目
13、设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，$f$ 无不动点，记
$$
f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f(x)}_{n \uparrow} .
$$
为 $\displaystyle f(x)$ 的 $n$ 次复合，数列 $\displaystyle \left[f_{n}(x)\right]$ 是否有界？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析“无不动点”的含义
因为 $f$ 连续且无不动点，即对任意 $x \in \mathbb{R}$，$f(x) \neq x$。假设存在两点 $a, b$ 使得 $f(a) > a$ 且 $f(b) < b$，则由连续函数的介值定理，在 $a$ 与 $b$ 之间必存在一点 $c$ 使得 $f(c) = c$，这与无不动点矛盾。因此，要么对所有 $x$ 有 $f(x) > x$，要么对所有 $x$ 有 $f(x) < x$。
提示：注意连续性和介值定理的应用，这是推导全局单调性的关键。
步骤 2/4
目标：情况一：$f(x) > x$ 对所有 $x$ 成立
取任意初始 $x_0$，令 $x_1 = f(x_0) > x_0$，$x_2 = f(x_1) > x_1$，依此类推，得到严格递增数列 $x_0 < x_1 < x_2 < \cdots$。若该数列有上界，则必收敛于某个极限 $L$。由 $f$ 连续，对递推式 $x_{n+1} = f(x_n)$ 两边取极限得 $L = f(L)$，即 $L$ 为不动点，矛盾。故数列无上界，即 $x_n \to +\infty$，从而无界。
公式：$x_{n+1} = f(x_n)$，$L = \lim_{n\to\infty} x_n$ 时 $L = f(L)$
提示：注意极限存在时会导致不动点，这是反证法的核心。
步骤 3/4
目标：情况二：$f(x) < x$ 对所有 $x$ 成立
类似地，取任意初始 $x_0$，则 $x_1 = f(x_0) < x_0$，$x_2 = f(x_1) < x_1$，得到严格递减数列 $x_0 > x_1 > x_2 > \cdots$。若该数列有下界，则收敛于某极限 $L$，由连续性得 $L = f(L)$，矛盾。故数列无下界，即 $x_n \to -\infty$，从而无界。
公式：$x_{n+1} = f(x_n)$，$L = \lim_{n\to\infty} x_n$ 时 $L = f(L)$
提示：与情况一对称，注意单调递减时下界的存在会导致不动点。
步骤 4/4
目标：综合结论
无论 $f$ 恒大于自变量还是恒小于自变量，对任意初始 $x$，数列 $\{f_n(x)\}$ 要么趋于 $+\infty$，要么趋于 $-\infty$，因此必定无界。
提示：结论是确定的：数列无界，与初始值无关。
步骤 5/5
目标：综合结论
无论 $f(x) > x$ 恒成立还是 $f(x) < x$ 恒成立，数列 $\{f_n(x)\}$ 都是严格单调且无界的（趋向 $\pm\infty$）。因此，对任意实数 $x$，该数列无界。
公式：\text{数列 } \{f_n(x)\} \text{ 无界}
提示：结论不依赖于初始 $x$ 的选择，因为单调性对所有点一致。
步骤 6/6
目标：综合结论
无论哪种情况，对于任意初始点$x$，迭代数列$\{f_n(x)\}$都是单调的且无界（趋向$+\infty$或$-\infty$），因此数列$\{f_n(x)\}$无界。
公式：$\{f_n(x)\}$无界
提示：结论与初始点无关，只要$f$连续且无不动点，迭代必发散到无穷。
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