北京交通大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可导，若 $\displaystyle f(x)$ 有两个零点，试着证明在这两个零点之间必定有 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件与目标
设 $a < b$，且 $f(a) = 0$，$f(b) = 0$。函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，从而连续。要证明存在某个 $c \in (a, b)$，使得 $f(c) + f'(c) = 0$。
公式：f(a)=0, f(b)=0
提示：注意区间端点函数值相等是应用罗尔定理的关键条件。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数
考虑辅助函数 $g(x) = e^x f(x)$。计算其导数：$g'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x (f(x) + f'(x))$。由于 $e^x > 0$ 恒成立，所以 $g'(x) = 0$ 当且仅当 $f(x) + f'(x) = 0$。
公式：g(x)=e^x f(x), \quad g'(x)=e^x(f(x)+f'(x))
提示：构造辅助函数是处理这类问题的常见技巧，目的是将待证等式转化为导数为零的形式。
步骤 3/4
目标：验证罗尔定理条件
因为 $f(a)=0$，$f(b)=0$，所以 $g(a)=e^a f(a)=0$，$g(b)=e^b f(b)=0$，即 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 端点函数值相等。又因为 $f$ 可导，指数函数可导，所以 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，满足罗尔定理的所有条件。
公式：g(a)=0, g(b)=0
提示：注意检查连续性（闭区间）和可导性（开区间）是否满足。
步骤 4/4
目标：应用罗尔定理得出结论
由罗尔定理，存在 $c \in (a,b)$ 使得 $g'(c)=0$，即 $e^c (f(c) + f'(c)) = 0$。由于 $e^c > 0$，所以 $f(c) + f'(c) = 0$。证毕。
公式：\exists c \in (a,b), \; f(c)+f'(c)=0
提示：不要忘记 $e^c > 0$ 这一事实，否则无法从 $g'(c)=0$ 直接推出 $f(c)+f'(c)=0$。
步骤 5/5
目标：转化为原函数的结论
由 $g'(c)=e^c\big(f(c)+f'(c)\big)=0$，且 $e^c>0$，故 $f(c)+f'(c)=0$。证毕。
公式：f(c)+f'(c)=0
提示：不要忽略 $e^c>0$ 这一事实，否则无法直接消去。
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