📝 北京交通大学 2025年数学分析真题
第1题
1、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上可导，若 $\displaystyle f(x)$ 有两个零点，试着证明在这两个零点之间必定有 $\displaystyle f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点。
第2题
2、证明：当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，有 $\displaystyle e^{2 x}<\frac{1+x}{1-x}$ ．
第3题
3．若 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=\frac{1}{x_{0}{ }^{3}+4}, x_{2}=\frac{1}{x_{1}{ }^{3}+4}, \cdots, x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}{ }^{3}+4}, \cdots$ ，证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛；
（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限值 $a$ 是方程 $\displaystyle x^{4}+4 x-1=0$ 的唯一正根．
（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛；
（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限值 $a$ 是方程 $\displaystyle x^{4}+4 x-1=0$ 的唯一正根．
第4题
4．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
第5题
5、设 $\displaystyle u=f(r)$ 二阶连续可导，且 $\displaystyle r^{2}=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{n}{ }^{2}$ ，证明：
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r},(r \neq 0)$ ．
（2）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0$ 的解。
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r},(r \neq 0)$ ．
（2）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0$ 的解。
第6题
6、求最大的负数 $A$ 和最小的正数 $B$ ，使得不等式
$$
\frac{A}{x y} \leq \ln (x+y) \leq \frac{B}{x^{2}+y^{2}}
$$
对任意的 $\displaystyle x>0, y>0$ 恒成立．
$$
\frac{A}{x y} \leq \ln (x+y) \leq \frac{B}{x^{2}+y^{2}}
$$
对任意的 $\displaystyle x>0, y>0$ 恒成立．
第7题
7、若积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ ，求二重积分
$$
I=\iint_{D}|x-y+2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
$$
I=\iint_{D}|x-y+2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第8题
8、求 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是雉面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2},(a, b>0)$ 在 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分，方向取下侧．
第9题
9、设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上正常可积，且
$$
f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t,(n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
$$
f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t,(n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
第10题
10、计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot(2 n-1)}$ ．
第11题
11、设每个函数 $\displaystyle u_{n}(x),(n=1,2, \ldots)$ 在点 $\displaystyle x=c$ 处连续，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(c)$发散，证明：对任意 $\displaystyle \delta>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (c, c+\delta)$ 内不一致收敛。
第12题
12、证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有连续导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且
$$
f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right],
$$
则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
$$
f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right],
$$
则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．