北京交通大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、证明：当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，有 $\displaystyle e^{2 x}<\frac{1+x}{1-x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造函数，将不等式转化为函数正值问题
令 $f(x) = \frac{1+x}{1-x} - e^{2x}$，则要证明当 $00$。
公式：f(x) = \frac{1+x}{1-x} - e^{2x}
提示：注意定义域为 $0
步骤 2/7
目标：计算端点函数值
计算 $f(0) = \frac{1+0}{1-0} - e^{0} = 1 - 1 = 0$。
公式：f(0)=0
提示：端点值为零是后续利用单调性证明 $f(x)>0$ 的基础。
步骤 3/7
目标：求导判断单调性
对 $f(x)$ 求导：
$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{d}{dx}(e^{2x}) = \frac{2}{(1-x)^2} - 2e^{2x} = 2\left(\frac{1}{(1-x)^2} - e^{2x}\right)$。
公式：f'(x) = 2\left(\frac{1}{(1-x)^2} - e^{2x}\right)
提示：求导时注意分式求导法则，以及 $e^{2x}$ 的导数为 $2e^{2x}$。
步骤 4/7
目标：引入辅助函数分析导数符号
令 $g(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^{2x}$，则 $f'(x)=2g(x)$。计算 $g(0)=1-1=0$，再对 $g(x)$ 求导：
$g'(x) = \frac{d}{dx}(1-x)^{-2} - 2e^{2x} = 2(1-x)^{-3} - 2e^{2x} = 2\left(\frac{1}{(1-x)^3} - e^{2x}\right)$。
公式：g'(x) = 2\left(\frac{1}{(1-x)^3} - e^{2x}\right)
提示：此处继续求导是为了判断 $g(x)$ 的单调性，从而得到 $g(x)>0$。
步骤 5/7
目标：证明 $g'(x)>0$
考虑 $h(x) = \ln\frac{1}{(1-x)^3} - \ln e^{2x} = -3\ln(1-x) - 2x$。
$h(0)=0$，求导得 $h'(x) = \frac{3}{1-x} - 2 = \frac{1+2x}{1-x} > 0$（当 $00$，即 $\frac{1}{(1-x)^3} > e^{2x}$，从而 $g'(x)>0$。
公式：h'(x) = \frac{1+2x}{1-x} > 0
提示：利用对数比较法避免直接比较指数和幂函数的大小，注意 $\ln(1-x)$ 的导数符号。
步骤 6/7
目标：由 $g'(x)>0$ 推出 $g(x)>0$，进而 $f'(x)>0$
因为 $g'(x)>0$ 且 $g(0)=0$，所以当 $00$，于是 $f'(x)=2g(x)>0$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格递增。
公式：f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ 严格递增}
提示：单调递增结合端点值 $f(0)=0$ 即可得到 $f(x)>0$。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $f(x)>0$ 得 $\frac{1+x}{1-x} > e^{2x}$，即 $e^{2x} < \frac{1+x}{1-x}$，原不等式得证。
公式：e^{2x} < \frac{1+x}{1-x} \quad (0
提示：注意不等式方向，最终结论与题目一致。
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