北京交通大学 2025年数学分析第3题

由递推公式 $x_{n+1} = \frac{1}{x_n^3 + 4}$ 及 $x_0 = 1$，计算： $x_0 = 1$， $x_1 = \frac{1}{1^3 + 4} = \frac{1}{5} = 0.2$， $x_2 = \frac{1}{(0.2)^3 + 4} = \frac{1}{0.008 + 4} = \frac{1}{4.008} \approx 0.2495$， $x_3 = \frac{1}{(0.2495)^3 + 4} \approx \frac{1}{0.01553 + 4} \approx 0.2490$。 可见数列在 $0.249$ 附近振荡，并非单调，需用其他方法证明收敛。

定义函数 $f(x) = \frac{1}{x^3 + 4}$，则 $x_{n+1} = f(x_n)$。由于 $x_0 > 0$ 且分母恒正，所有 $x_n > 0$。 求导得 $f'(x) = -\frac{3x^2}{(x^3 + 4)^2}$，故 $|f'(x)| = \frac{3x^2}{(x^3 + 4)^2}$。 考虑区间 $I = [0.2, 1]$，在此区间上 $|f'(x)|$ 的最大值在 $x=1$ 处取得：$|f'(1)| = \frac{3}{25} = 0.12 < 1$，因此 $f$ 在 $I$ 上是压缩映射，压缩系数 $L = 0.12$。

由压缩映射原理，若 $f$ 在闭区间 $I$ 上满足 $|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$ 且 $L<1$，且 $x_1 \in I$，则迭代序列 $x_{n+1}=f(x_n)$ 收敛到 $I$ 内的唯一不动点。 这里 $x_1=0.2 \in [0.2,1]$，且 $f$ 将 $[0.2,1]$ 映射到自身（因为 $f$ 递减，$f(0.2)\approx 0.2495$，$f(1)=0.2$，值域 $[0.2, 0.2495] \subset [0.2,1]$），因此数列 $\{x_n\}$ 收敛。

设极限为 $a$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。对递推式两边取极限得 $a = \frac{1}{a^3 + 4}$。 整理得 $a(a^3 + 4) = 1$，即 $a^4 + 4a - 1 = 0$。因此极限 $a$ 是方程 $x^4 + 4x - 1 = 0$ 的根。

令 $h(x) = x^4 + 4x - 1$，则 $h'(x) = 4x^3 + 4 > 0$ 对所有 $x > 0$ 成立，故 $h(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格递增。 又 $h(0) = -1 < 0$，$h(1) = 4 > 0$，由介值定理知存在唯一 $a \in (0,1)$ 使得 $h(a)=0$。 由于数列 $\{x_n\}$ 收敛且极限为正，该极限必为此唯一正根。