北京交通大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为指数形式，便于处理连乘积
令 $A_n = \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right) \right]^{1/n}$，两边取自然对数得：
$$\ln A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$$
公式：$$\ln A_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$$
提示：注意取对数后，连乘积变成求和，指数 $1/n$ 变成系数 $1/n$，这是处理幂指型极限的常用技巧。
步骤 2/4
目标：将求和式视为黎曼和，转化为定积分
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$ 是函数 $f(x)=\ln(1+x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和（取右端点，小区间宽度 $\Delta x = 1/n$），因此：
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \ln(1+x)\,dx$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \ln(1+x)\,dx$$
提示：确认被积函数和积分区间：$k/n$ 对应 $x$，$k$ 从 $1$ 到 $n$ 对应 $x$ 从 $0$ 到 $1$（右端点），不要混淆端点。
步骤 3/4
目标：计算定积分 $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx$
使用分部积分法，令 $u = \ln(1+x)$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{1+x}dx$，$v = x$。
$$\begin{aligned}
\int_0^1 \ln(1+x)\,dx &= \left[ x\ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx \\
&= \ln 2 - \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)\,dx \\
&= \ln 2 - \left[ x - \ln(1+x) \right]_0^1 \\
&= \ln 2 - \left( (1 - \ln 2) - 0 \right) \\
&= 2\ln 2 - 1
\end{aligned}$$
公式：$$\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = 2\ln 2 - 1$$
提示：计算 $\int \frac{x}{1+x}dx$ 时，常用技巧是分子加1减1：$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$，避免复杂换元。
步骤 4/4
目标：由对数极限还原原极限，得到最终结果
由前几步知 $\lim_{n\to\infty} \ln A_n = 2\ln 2 - 1$，根据指数函数的连续性：
$$\lim_{n\to\infty} A_n = e^{2\ln 2 - 1} = e^{\ln(2^2)} \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right) \right]^{1/n} = \frac{4}{e}$$
提示：最后一步化简时，$e^{2\ln 2} = 2^2 = 4$，不要忘记乘以 $e^{-1}$。
步骤 5/6
目标：还原极限值
由 $\ln L = 2\ln 2 - 1$，得 $L = e^{2\ln 2 - 1} = e^{\ln 4} \cdot e^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e}$。
公式：$$e^{a\ln b} = b^a$$
提示：注意 $2\ln 2 = \ln(2^2)=\ln 4$。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，所求极限为 $\frac{4}{e}$。
提示：最终答案应化简为最简形式。
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