北京交通大学 2025年数学分析第8题
📝 题目
8、求 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是雉面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2},(a, b>0)$ 在 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分，方向取下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲面与方向
曲面方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$，在 $z=0$ 与 $z=1$ 之间，方向取下侧。下侧表示法向量指向下方，与 $z$ 轴正方向成钝角。
公式：曲面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
提示：注意锥面在 $z=0$ 处退化为一点，方向下侧是封闭区域的外侧。
步骤 2/6
目标：补面构造封闭区域
为了使用高斯公式，补上顶面 $S_2: z=1$，取上侧（法向量向上），与锥面下侧共同构成封闭曲面外侧。下底面 $z=0$ 处面积为 $0$，可忽略。
公式：封闭曲面 $\partial\Omega = \Sigma \cup S_2$
提示：补面方向必须与封闭区域外侧一致，锥面下侧对应外侧，顶面应取上侧。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式转化为三重积分
设 $P=x-y,\; Q=y^2-z^2,\; R=z^3-x^3$，计算散度：
$\frac{\partial P}{\partial x}=1,\; \frac{\partial Q}{\partial y}=2y,\; \frac{\partial R}{\partial z}=3z^2$，散度为 $1+2y+3z^2$。由高斯公式：
$$\iint_{\partial\Omega} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_\Omega (1+2y+3z^2)\,dV$$
公式：高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意散度计算要准确，$2y$ 项在后续积分中可能因对称性为零。
步骤 4/6
目标：计算三重积分（先二后一法）
区域 $\Omega$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le z^2,\; 0\le z\le 1$。固定 $z$，截面为椭圆，面积 $S(z)=\pi ab z^2$。
- 积分 $1$：$\iiint_\Omega 1\,dV = \int_0^1 \pi ab z^2\,dz = \frac{\pi ab}{3}$
- 积分 $2y$：区域关于 $y$ 奇对称，$y$ 为奇函数，积分为 $0$
- 积分 $3z^2$：$\iiint_\Omega 3z^2\,dV = \int_0^1 3z^2\cdot \pi ab z^2\,dz = 3\pi ab\int_0^1 z^4\,dz = \frac{3\pi ab}{5}$
总和：$\frac{\pi ab}{3}+\frac{3\pi ab}{5} = \frac{14\pi ab}{15}$
公式：$\iiint_\Omega (1+2y+3z^2)\,dV = \frac{14\pi ab}{15}$
提示：利用对称性简化计算，注意椭圆面积公式 $S=\pi ab z^2$。
步骤 5/6
目标：计算顶面 $S_2$ 的曲面积分
顶面 $S_2: z=1$，方向向上，法向量为 $(0,0,1)$。只有 $R\,dx\,dy$ 项有贡献，且 $z=1$，$dz=0$。
$$\iint_{S_2\text{上侧}} = \iint_D (1^3-x^3)\,dx\,dy$$
其中 $D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$。
- $\iint_D 1\,dx\,dy = \pi ab$
- $\iint_D x^3\,dx\,dy = 0$（$x^3$ 关于 $x$ 为奇函数，区域对称）
故顶面积分为 $\pi ab$。
公式：$\iint_{S_2\text{上侧}} = \pi ab$
提示：上侧对应 $dx\,dy$ 取正号，注意 $x^3$ 的奇偶性。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
由高斯公式：$\iint_{\Sigma\text{下侧}} + \iint_{S_2\text{上侧}} = \frac{14\pi ab}{15}$，所以
$$I = \frac{14\pi ab}{15} - \pi ab = -\frac{\pi ab}{15}$$
公式：$I = -\frac{\pi ab}{15}$
提示：注意减去顶面积分时符号，最终结果为负值。
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