北京交通大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9、设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上正常可积，且
$$
f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t,(n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件与递推关系
已知 $f_1(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上正常可积（黎曼可积），且递推定义为 $f_{n+1}(x)=\int_a^x f_n(t)\,dt$，$n=1,2,\dots$。这意味着 $f_2$ 是 $f_1$ 的变上限积分，$f_3$ 是 $f_2$ 的积分，依此类推。由于 $f_1$ 可积，$f_2$ 连续，$f_3$ 可微，但我们需要关注的是函数序列的收敛性。
公式：f_{n+1}(x)=\int_a^x f_n(t)\,dt
提示：注意变上限积分的连续性：若被积函数可积，则变上限积分连续。
步骤 2/5
目标：建立有界性估计
因为 $f_1$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积，所以 $f_1$ 有界。设存在常数 $M>0$ 使得 $|f_1(x)|\le M$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立。对于 $f_2$，有 $|f_2(x)|=\left|\int_a^x f_1(t)\,dt\right|\le \int_a^x |f_1(t)|\,dt\le M(x-a)\le M(b-a)$。但这只是初步估计，我们需要更精确的递推估计。
公式：|f_1(x)|\le M,\quad |f_2(x)|\le M(x-a)
提示：有界性是后续归纳的基础，注意 $M$ 是 $f_1$ 的界。
步骤 3/5
目标：归纳证明精确上界
我们归纳证明：对任意 $n\ge 1$，有 $|f_n(x)|\le M\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}$，$\forall x\in[a,b]$。当 $n=1$ 时，右边为 $M\frac{(x-a)^0}{0!}=M$，成立。假设对 $n$ 成立，则对 $f_{n+1}$：$|f_{n+1}(x)|\le \int_a^x |f_n(t)|\,dt\le \int_a^x M\frac{(t-a)^{n-1}}{(n-1)!}\,dt = M\frac{(x-a)^n}{n\cdot (n-1)!}=M\frac{(x-a)^n}{n!}$，归纳成立。
公式：|f_n(x)|\le M\frac{(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}
提示：注意积分时 $(t-a)^{n-1}$ 的原函数是 $\frac{(t-a)^n}{n}$，不要漏掉分母 $n$。
步骤 4/5
目标：利用Weierstrass M-判别法证明一致收敛
由归纳结果，对任意 $x\in[a,b]$，有 $|f_n(x)|\le M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$。右边是与 $x$ 无关的常数，且由于阶乘增长快于指数，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\to 0$。因此，根据 Weierstrass M-判别法，函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于零函数。
公式：|f_n(x)|\le M\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}\to 0
提示：Weierstrass M-判别法要求找到一个与 $x$ 无关的收敛级数控制函数列，这里 $\sum \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$ 收敛于 $e^{b-a}$。
步骤 5/5
目标：总结结论
我们已经证明：函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛，且极限函数为 $0$。
公式：\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0,\quad \text{一致收敛}
提示：一致收敛意味着收敛速度与 $x$ 无关，这是由估计式的统一上界保证的。
步骤 6/7
目标：证明一致收敛性
令 $M_n=C\dfrac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}$，则对任意 $x\in[a,b]$，$|f_n(x)|\le M_n$，且 $\lim_{n\to\infty}M_n=0$。由一致收敛的定义，$\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于零函数。
公式：\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-0|\le\lim_{n\to\infty}M_n=0
提示：一致收敛要求上确界趋于0，这里直接给出了上界，故得证。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛于零函数。
公式：f_n(x)\rightrightarrows 0,\quad x\in[a,b]
提示：注意极限函数是零函数，但题目只要求证明一致收敛，不要求具体极限。
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