北京交通大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10、计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot(2 n-1)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别级数形式，联想到反双曲正切函数的泰勒展开
观察通项 $\frac{1}{2^n (2n-1)}$，分母含有 $2n-1$，且无正负交替，联想到反双曲正切函数 $\operatorname{arctanh} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，但此处分母为 $2n-1$，需通过变量代换匹配。
公式：$\operatorname{arctanh} x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|<1$
提示：注意 $\arctan x$ 的展开有 $(-1)^n$，而此处无交错，应选择反双曲正切。
步骤 2/5
目标：通过下标变换将级数化为标准形式
令 $k = n-1$，则 $n = k+1$，$2n-1 = 2k+1$，且 $n$ 从 $1$ 到 $\infty$ 对应 $k$ 从 $0$ 到 $\infty$。原级数化为：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n (2n-1)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1} (2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1}$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n (2n-1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1}$
提示：注意 $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$，提取因子 $\frac{1}{2}$ 后，分子为 $(1/2)^k$。
步骤 3/5
目标：将级数与反双曲正切展开式关联
在 $\operatorname{arctanh} x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ 中，令 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$，则 $x^{2k+1} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2k+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$，于是：
$$\operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1}$$
公式：$\operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1}$
提示：注意 $x^{2k+1}$ 的指数运算：$(1/\sqrt{2})^{2k+1} = (1/\sqrt{2}) \cdot (1/2)^k$。
步骤 4/5
目标：解出级数表达式并用反双曲正切表示
由上式得 $\sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1} = \sqrt{2} \operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}}$，代入原级数：
$$\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(1/2)^k}{2k+1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}}$$
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n (2n-1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}}$
提示：$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，化简时注意有理化。
步骤 5/5
目标：将对数形式代入得到最终结果
利用反双曲正切的对数表达式：$\operatorname{arctanh} y = \frac{1}{2} \ln \frac{1+y}{1-y}$，代入 $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$：
$$\operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \ln \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$$
有理化分母：$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} = (\sqrt{2}+1)^2$，因此：
$$\operatorname{arctanh} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \ln \left((\sqrt{2}+1)^2\right) = \ln(\sqrt{2}+1)$$
最终原级数 $= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2}+1)$。
公式：$\operatorname{arctanh} y = \frac{1}{2} \ln \frac{1+y}{1-y}$，$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = (\sqrt{2}+1)^2$
提示：有理化时注意分母为 $2-1=1$，避免计算错误；最终结果可写为 $\frac{\ln(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}$。
步骤 6/7
目标：代入 x=1
令 $x=1$，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot (2n-1)} = S(1) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$。
提示：代入时注意 x=1 在收敛域内。
步骤 7/7
目标：化简结果
化简：$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$，所以 $\ln \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \ln (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 \ln (\sqrt{2} + 1)$。因此原级数 $= \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot 2 \ln (\sqrt{2} + 1) = \frac{\ln (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}}$。
公式：$\ln a^b = b \ln a$
提示：注意有理化分母的技巧。
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