北京交通大学 2025年数学分析第11题

已知每个函数 $u_n(x)$ 在 $x=c$ 处连续，但级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(c)$ 发散。要证明：对任意 $\delta>0$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在区间 $(c, c+\delta)$ 内不一致收敛。

级数 $\sum u_n(x)$ 在集合 $E$ 上一致收敛于 $S(x)$ 是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $n\ge N$ 和所有 $x\in E$，有 $|S(x)-\sum_{k=1}^n u_k(x)|<\varepsilon$。等价地，由柯西准则：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m>n\ge N$ 和所有 $x\in E$，有 $|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)|<\varepsilon$。

假设结论不成立，即存在某个 $\delta_0>0$，使得级数在 $(c,c+\delta_0)$ 上一致收敛。则由一致收敛的柯西准则，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m>n\ge N$ 和所有 $x\in (c,c+\delta_0)$，有 $\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|<\varepsilon$。

固定上述 $n,m$（满足 $m>n\ge N$），考虑函数 $f(x)=\sum_{k=n+1}^m u_k(x)$。由于每个 $u_k$ 在 $x=c$ 处连续，故 $f(x)$ 也在 $x=c$ 处连续。因此，取极限 $x\to c^+$（从右侧趋近于 $c$），由连续性得：$\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(c)\right|=\lim_{x\to c^+}\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|\le\varepsilon$。

由上述推导，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m>n\ge N$，有 $\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(c)\right|\le\varepsilon$。这正是级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(c)$ 满足柯西收敛准则的条件，因此该级数收敛，与已知条件“$\sum_{n=1}^\infty u_n(c)$ 发散”矛盾。

因此假设不成立，即对任意 $\delta>0$，级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $(c,c+\delta)$ 内不一致收敛。