北京交通大学 2025年数学分析第12题

对任意固定的 $x \in [\alpha, \beta]$ 和足够大的 $n$（使得 $x + \frac{1}{n} \in (a, b)$），由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n(x)$ 介于 $x$ 与 $x + \frac{1}{n}$ 之间，使得 \[ f\left(x + \frac{1}{n}\right) - f(x) = f'(\xi_n(x)) \cdot \frac{1}{n}. \] 代入 $f_n(x)$ 的定义得 \[ f_n(x) = n \cdot \frac{1}{n} f'(\xi_n(x)) = f'(\xi_n(x)). \]

要证明 $\{f_n(x)\}$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上一致收敛于 $f'(x)$，即证明 \[ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [\alpha, \beta]} |f_n(x) - f'(x)| = 0. \] 由第一步，有 \[ |f_n(x) - f'(x)| = |f'(\xi_n(x)) - f'(x)|. \]

由于 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，因此在闭子区间 $[\alpha, \beta] \subset (a, b)$ 上一致连续。即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $u, v \in [\alpha, \beta]$，当 $|u - v| < \delta$ 时，有 $|f'(u) - f'(v)| < \varepsilon$。

取 $N = \left\lceil \frac{1}{\delta} \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，对任意 $x \in [\alpha, \beta]$，有 $|\xi_n(x) - x| < \frac{1}{n} < \delta$。由一致连续性， \[ |f'(\xi_n(x)) - f'(x)| < \varepsilon \] 对所有 $x \in [\alpha, \beta]$ 同时成立。因此 \[ \sup_{x \in [\alpha, \beta]} |f_n(x) - f'(x)| \leq \varepsilon. \] 由 $\varepsilon$ 的任意性，即得 $\{f_n(x)\}$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上一致收敛于 $f'(x)$。

因此，对任意闭子区间 $[\alpha, \beta] \subset (a, b)$，函数列 $\{f_n(x)\}$ 一致收敛于导函数 $f'(x)$。

由上述估计，当 $n>N$ 时，$\sup_{x\in[\alpha,\beta]} |f_n(x)-f'(x)| = \sup_{x\in[\alpha,\beta]} |f'(\xi_n(x))-f'(x)| \leq \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，知 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[\alpha,\beta]} |f_n(x)-f'(x)| = 0$，即函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上一致收敛于 $f'(x)$。

因为 $[\alpha,\beta] \subset (a,b)$，存在 $\eta>0$ 使得 $[\alpha-\eta, \beta+\eta] \subset (a,b)$。取 $N$ 足够大使得 $1/N < \eta$，则当 $n>N$ 时，对任意 $x\in[\alpha,\beta]$，有 $x+1/n \in (a,b)$，从而拉格朗日中值定理适用。这保证了一致收敛性证明中 $n$ 的选取不依赖于 $x$。