北京交通大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5、设 $\displaystyle u=f(r)$ 二阶连续可导，且 $\displaystyle r^{2}=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{n}{ }^{2}$ ，证明：
（1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r},(r \neq 0)$ ．
（2）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0$ 的解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算一阶偏导数
由 $r^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$ 对 $x_i$ 求偏导得 $2r \frac{\partial r}{\partial x_i} = 2x_i$，所以 $\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}$。由于 $u = f(r)$，利用链式法则：$\frac{\partial u}{\partial x_i} = f'(r) \frac{\partial r}{\partial x_i} = f'(r) \frac{x_i}{r}$。
公式：\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \quad \frac{\partial u}{\partial x_i} = f'(r) \frac{x_i}{r}
提示：注意 $r$ 是 $x_i$ 的函数，求导时不要遗漏链式法则。
步骤 2/6
目标：计算二阶偏导数
对 $\frac{\partial u}{\partial x_i} = f'(r) \frac{x_i}{r}$ 再次求偏导，使用乘积法则：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left(f'(r)\right) \cdot \frac{x_i}{r} + f'(r) \cdot \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right)$$
第一项：$\frac{\partial}{\partial x_i} f'(r) = f''(r) \frac{x_i}{r}$，所以第一项为 $f''(r) \frac{x_i^2}{r^2}$。
第二项：$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right) = \frac{1 \cdot r - x_i \cdot \frac{x_i}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - x_i^2}{r^3}$，所以第二项为 $f'(r) \frac{r^2 - x_i^2}{r^3}$。
因此：
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f''(r) \frac{x_i^2}{r^2} + f'(r) \frac{r^2 - x_i^2}{r^3}$$
公式：\frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f''(r) \frac{x_i^2}{r^2} + f'(r) \frac{r^2 - x_i^2}{r^3}
提示：计算 $\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right)$ 时，注意 $r$ 也依赖于 $x_i$，需用商的求导法则。
步骤 3/6
目标：对所有变量求和并化简
对所有 $i=1,\dots,n$ 求和：
$$\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f''(r) \frac{\sum x_i^2}{r^2} + f'(r) \frac{n r^2 - \sum x_i^2}{r^3}$$
由于 $\sum x_i^2 = r^2$，代入得：
$$= f''(r) \frac{r^2}{r^2} + f'(r) \frac{n r^2 - r^2}{r^3} = f''(r) + f'(r) \frac{(n-1)r^2}{r^3} = f''(r) + \frac{n-1}{r} f'(r)$$
用微分符号表示即：
$$\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} r^2} + \frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r}$$
公式：\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} r^2} + \frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r}
提示：求和时注意 $\sum x_i^2 = r^2$ 是简化关键，不要忘记 $n$ 个 $r^2$ 求和得到 $n r^2$。
步骤 4/6
目标：将偏微分方程化为常微分方程
由（1）的结论，方程 $\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0$ 化为关于 $r$ 的常微分方程：
$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} r^2} + \frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} = 0$$
公式：\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} r^2} + \frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} = 0
提示：这里 $u$ 仅是 $r$ 的函数，所以偏微分方程退化为常微分方程。
步骤 5/6
目标：降阶并求解一阶方程
令 $v = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r}$，则方程变为 $v' + \frac{n-1}{r} v = 0$。分离变量：$\frac{\mathrm{d} v}{v} = -\frac{n-1}{r} \mathrm{d} r$。积分得：$\ln |v| = -(n-1) \ln |r| + C$，即 $v = C_1 r^{-(n-1)}$，其中 $C_1$ 为任意常数。
公式：v = C_1 r^{-(n-1)}
提示：分离变量时注意 $r \neq 0$，积分常数合并为 $C_1$。
步骤 6/6
目标：积分得到 $u$ 的表达式
由 $v = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} = C_1 r^{-(n-1)}$ 积分得 $u = \int C_1 r^{-(n-1)} \mathrm{d} r$。
- 当 $n=2$ 时：$u = \int C_1 r^{-1} \mathrm{d} r = C_1 \ln r + C_2$。
- 当 $n \neq 2$ 时：$u = C_1 \frac{r^{-n+2}}{-n+2} + C_2 = \frac{C_1}{2-n} r^{2-n} + C_2$，记 $A = \frac{C_1}{2-n}$，则 $u = A r^{2-n} + B$，其中 $A, B$ 为任意常数。
公式：u = \begin{cases} C_1 \ln r + C_2, & n=2 \\ A r^{2-n} + B, & n \neq 2 \end{cases}
提示：积分时注意 $n=2$ 是特殊情况，需单独处理，因为 $\int r^{-1} \mathrm{d} r = \ln |r|$ 与其他幂次不同。
步骤 7/8
目标：求解拉普拉斯方程
方程：
$$\frac{d^2 u}{d r^2} + \frac{n-1}{r} \frac{d u}{d r} = 0, \quad r > 0.$$
令 $v = \frac{d u}{d r}$，则 $v' + \frac{n-1}{r} v = 0$。分离变量：
$$\frac{d v}{v} = -\frac{n-1}{r} d r.$$
积分得：$\ln |v| = -(n-1) \ln r + C_1$，即 $v = C_1 r^{-(n-1)}$。
公式：一阶线性齐次微分方程
提示：注意 $r>0$，绝对值可去掉。
步骤 8/8
目标：积分得到 $u(r)$
由 $\frac{d u}{d r} = C_1 r^{-(n-1)}$，积分得：
- 当 $n=2$ 时，$u(r) = C_1 \ln r + C_2$；
- 当 $n \neq 2$ 时，$u(r) = C_1 \frac{r^{2-n}}{2-n} + C_2$。
通常写为：
$$u(r) = \begin{cases} A \ln r + B, & n=2, \\ A r^{2-n} + B, & n \neq 2, \end{cases}$$
其中 $A, B$ 为任意常数。
公式：幂函数积分公式
提示：注意 $n=2$ 时积分结果是对数函数，需单独讨论。
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