北京交通大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、求最大的负数 $A$ 和最小的正数 $B$ ，使得不等式
$$
\frac{A}{x y} \leq \ln (x+y) \leq \frac{B}{x^{2}+y^{2}}
$$
对任意的 $\displaystyle x>0, y>0$ 恒成立．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析左边不等式，确定A的表达式
左边不等式为 $\frac{A}{xy} \leq \ln(x+y)$，由于 $x>0, y>0$，$xy>0$，可化为 $A \leq xy \ln(x+y)$。要使不等式对所有 $x>0, y>0$ 恒成立，$A$ 必须不大于 $xy\ln(x+y)$ 的下确界。因为 $A$ 是最大的负数，所以 $A = \inf_{x>0, y>0} xy\ln(x+y)$。
公式：$A = \inf_{x>0, y>0} xy\ln(x+y)$
提示：注意不等式方向，乘以正数 $xy$ 不改变不等号方向。
步骤 2/6
目标：求函数 $f(x,y)=xy\ln(x+y)$ 的下确界
考虑对称性，令 $x=y=t>0$，则 $f(t,t)=t^2\ln(2t)$。求导得 $f'(t)=2t\ln(2t)+t = t(2\ln(2t)+1)$。令 $f'(t)=0$，得 $2\ln(2t)+1=0$，解得 $t=\frac{1}{2\sqrt{e}}$。此时 $f\left(\frac{1}{2\sqrt{e}},\frac{1}{2\sqrt{e}}\right)=\frac{1}{4e}\ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=-\frac{1}{8e}$。当 $t\to0^+$ 时，$t^2\ln(2t)\to0^-$；当 $t\to+\infty$ 时，$t^2\ln(2t)\to+\infty$。因此该点为全局最小值，下确界为 $-\frac{1}{8e}$。
公式：$\inf_{x>0,y>0} xy\ln(x+y) = -\frac{1}{8e}$
提示：利用对称性简化问题，注意 $t\to0^+$ 时 $t^2\ln t \to 0$ 是经典极限。
步骤 3/6
目标：确定最大的负数A
由第一步分析，$A$ 等于下确界，即 $A = -\frac{1}{8e}$。
公式：$A = -\frac{1}{8e}$
提示：验证该值确实为负数，且是最大的可能值。
步骤 4/6
目标：分析右边不等式，确定B的表达式
右边不等式为 $\ln(x+y) \leq \frac{B}{x^2+y^2}$，由于 $x^2+y^2>0$，可化为 $B \geq (x^2+y^2)\ln(x+y)$。要使不等式对所有 $x>0, y>0$ 恒成立，$B$ 必须不小于 $(x^2+y^2)\ln(x+y)$ 的上确界。因为 $B$ 是最小的正数，所以 $B = \sup_{x>0, y>0} (x^2+y^2)\ln(x+y)$。
公式：$B = \sup_{x>0, y>0} (x^2+y^2)\ln(x+y)$
提示：注意乘以正数 $x^2+y^2$ 后不等号方向不变。
步骤 5/6
目标：求函数 $g(x,y)=(x^2+y^2)\ln(x+y)$ 的上确界
考虑对称性，令 $x=y=t>0$，则 $g(t,t)=2t^2\ln(2t)$。当 $t\to+\infty$ 时，$2t^2\ln(2t)\to+\infty$，因此函数无上界，即 $\sup_{x>0,y>0} (x^2+y^2)\ln(x+y) = +\infty$。这意味着不存在有限的正数 $B$ 使得不等式对所有 $x>0,y>0$ 恒成立。
公式：$\sup_{x>0,y>0} (x^2+y^2)\ln(x+y) = +\infty$
提示：当变量趋于无穷时，二次项增长远快于对数，导致函数发散到正无穷。
步骤 6/6
目标：结论：右边不等式无有限解
由于 $(x^2+y^2)\ln(x+y)$ 无上界，不存在有限的正数 $B$ 满足条件。因此，题目中右边不等式在给定条件下无法成立，可能原题有误或需调整范围。但根据左边不等式，我们得到 $A = -\frac{1}{8e}$。
公式：无有限 $B$
提示：注意检查题目条件是否合理，例如是否限制 $x+y$ 的范围。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。