北京工业大学 2023年数学分析第10题
📝 题目
10、证明黎曼引理：设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积或绝对可积，则成立： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积或绝对可积，需要证明极限 $\lim_{p \to \infty} \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx = 0$。
公式：\lim_{p \to \infty} \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx = 0
提示：注意这里只考虑余弦形式，正弦形式同理可证。
步骤 2/6
目标：从常值函数入手验证
先假设 $f(x) = C$ 为常数，则积分可直接计算：
\[
\int_a^b C \cos(px) \, dx = C \cdot \frac{\sin(pb) - \sin(pa)}{p}.
\]
由于 $|\sin(pb) - \sin(pa)| \le 2$，因此当 $p \to \infty$ 时，该积分趋于 $0$。
公式：\int_a^b C \cos(px) \, dx = C \cdot \frac{\sin(pb) - \sin(pa)}{p}
提示：利用正弦函数的有界性进行放缩。
步骤 3/6
目标：推广到阶梯函数
若 $f$ 是阶梯函数，即区间 $[a,b]$ 可分成有限个小区间，在每个小区间上 $f$ 为常数。则积分是若干个上述常值函数积分的和，每一项当 $p \to \infty$ 时都趋于 $0$，故总和也趋于 $0$。
公式：\lim_{p \to \infty} \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx = 0
提示：阶梯函数的定义：有限个分段常值函数。
步骤 4/6
目标：利用可积函数的逼近性质
对于一般的可积函数 $f$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在阶梯函数 $\varphi(x)$ 使得
\[
\int_a^b |f(x) - \varphi(x)| \, dx < \varepsilon.
\]
（这是可积函数可用阶梯函数逼近的基本性质。）
公式：\int_a^b |f(x) - \varphi(x)| \, dx < \varepsilon
提示：绝对可积或可积性保证了这种逼近的存在性。
步骤 5/6
目标：分解积分并估计第一项
将原积分拆分为两部分：
\[
\left| \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx \right|
\le \left| \int_a^b (f(x) - \varphi(x)) \cos(px) \, dx \right|
+ \left| \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx \right|.
\]
第一项利用 $|\cos(px)| \le 1$ 放缩：
\[
\left| \int_a^b (f(x)-\varphi(x)) \cos(px) \, dx \right|
\le \int_a^b |f(x)-\varphi(x)| \, dx < \varepsilon.
\]
公式：\left| \int_a^b (f(x)-\varphi(x)) \cos(px) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)-\varphi(x)| \, dx
提示：注意绝对值与积分次序的交换，以及三角函数的界。
步骤 6/6
目标：估计第二项并合并结论
由于 $\varphi$ 是阶梯函数，由第三步知存在 $P > 0$，使得当 $p > P$ 时，
\[
\left| \int_a^b \varphi(x) \cos(px) \, dx \right| < \varepsilon.
\]
于是当 $p > P$ 时，
\[
\left| \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx \right| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.
\]
由 $\varepsilon$ 的任意性，即得极限为 $0$。
公式：\lim_{p \to \infty} \int_a^b f(x) \cos(px) \, dx = 0
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限为0。
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