📝 北京工业大学 2023年数学分析真题
第1题
1、证明：如果 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)+g(x)$在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上也是一致连续的；请问：它们的乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 是否仍一致连续？如果是，请写出证明过程；如果不是，请举出反例．
第2题
2、试问闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数类 $\displaystyle C[a, b]$ ，可导函数类 $\displaystyle D[a, b]$ ，可积函数类 $\displaystyle R[a, b]$ 之间有什么关系？请写出证明过程或举出反例．
第3题
3、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的有界函数，证明：
$$
\begin{aligned}
& \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \geq \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\inf _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\} \\
& \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \leq \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\sup _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \geq \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\inf _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\} \\
& \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \leq \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\sup _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\}
\end{aligned}
$$
第4题
4、（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 附近可以表示为：
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$
证明：$\displaystyle a_{k}=\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}, k=0,1,2, \cdots, n$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内有任意阶导数，且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}$ ，有 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$（常数），$\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．试证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内可展开为无穷泰勒级数，即
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}
$$
其中 $\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$
证明：$\displaystyle a_{k}=\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}, k=0,1,2, \cdots, n$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内有任意阶导数，且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}$ ，有 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$（常数），$\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．试证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内可展开为无穷泰勒级数，即
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}
$$
其中 $\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．
第5题
5、叙述定积分与三重积分的定义及其几何意义或物理意义。它们的定义有什么共同点？并利用定义证明三重积分的线性性质。
第6题
6、证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积的充分必要条件是：对 $\displaystyle \forall c \in(a, b)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, c]$ 和 $\displaystyle [c, b]$ 上都可积，并证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x
$$
第7题
7、已知 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，设
$$
F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. }
$$
$$
F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. }
$$
第8题
8、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ 收玫，并求其值．
第9题
9、求第二型曲面积分： $\displaystyle \iint_{S}\left(x z^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y+z^{4}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x +\left(3 x^{2}+4 y^{2}+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为椭球面
$$
x^{2}+2 x y+2 y^{2}+z^{2}=1 \text {, 方向取外侧. }
$$
$$
x^{2}+2 x y+2 y^{2}+z^{2}=1 \text {, 方向取外侧. }
$$
第10题
10、证明黎曼引理：设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积或绝对可积，则成立： $\displaystyle \lim _{p \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0$ ．