北京工业大学 2023年数学分析第3题
📝 题目
3、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的有界函数，证明：
$$
\begin{aligned}
& \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \geq \sup _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\inf _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\} \\
& \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \leq \inf _{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\}+\sup _{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\}
\end{aligned}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和符号定义
已知 $f(x), g(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有界函数，因此它们的上确界和下确界都是有限实数。记 $A = \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)$，$B = \inf_{x \in \mathbb{R}} g(x)$，$C = \inf_{x \in \mathbb{R}} f(x)$，$D = \sup_{x \in \mathbb{R}} g(x)$。
公式：A = \sup f(x), B = \inf g(x), C = \inf f(x), D = \sup g(x)
提示：注意区分上确界和下确界，它们分别对应最大值和最小值（在紧集上）的推广。
步骤 2/7
目标：证明第一个不等式：利用下确界的下界性质
对任意 $x \in \mathbb{R}$，由下确界的定义有 $g(x) \ge B$，因此 $f(x) + g(x) \ge f(x) + B$。
公式：g(x) \ge B \Rightarrow f(x)+g(x) \ge f(x)+B
提示：下确界是函数值的最大下界，所以所有函数值都大于等于它。
步骤 3/7
目标：对第一个不等式两边取上确界
对不等式 $f(x)+g(x) \ge f(x)+B$ 两边关于 $x$ 取上确界，得到 $\sup_{x} (f(x)+g(x)) \ge \sup_{x} (f(x)+B)$。由于 $B$ 是常数，$\sup_{x} (f(x)+B) = \sup_{x} f(x) + B = A + B$。
公式：\sup_{x} (f(x)+g(x)) \ge A + B
提示：常数可以提到上确界外面，这是上确界的基本性质。
步骤 4/7
目标：第一个不等式证明完成
因此 $\sup_{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \ge \sup_{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\} + \inf_{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\}$，即第一个不等式成立。
公式：\sup(f+g) \ge \sup f + \inf g
提示：注意这里不等号方向：因为下界放缩后取上确界，不等号方向不变。
步骤 5/7
目标：证明第二个不等式：利用上确界的上界性质
对任意 $x \in \mathbb{R}$，由上确界的定义有 $g(x) \le D$，因此 $f(x) + g(x) \le f(x) + D$。
公式：g(x) \le D \Rightarrow f(x)+g(x) \le f(x)+D
提示：上确界是函数值的最小上界，所以所有函数值都小于等于它。
步骤 6/7
目标：对第二个不等式两边取下确界
对不等式 $f(x)+g(x) \le f(x)+D$ 两边关于 $x$ 取下确界，得到 $\inf_{x} (f(x)+g(x)) \le \inf_{x} (f(x)+D)$。由于 $D$ 是常数，$\inf_{x} (f(x)+D) = \inf_{x} f(x) + D = C + D$。
公式：\inf_{x} (f(x)+g(x)) \le C + D
提示：常数可以提到下确界外面，但注意不等号方向：上界放缩后取下确界，不等号方向不变。
步骤 7/7
目标：第二个不等式证明完成
因此 $\inf_{x \in \mathbb{R}}\{f(x)+g(x)\} \le \inf_{x \in \mathbb{R}}\{f(x)\} + \sup_{x \in \mathbb{R}}\{g(x)\}$，即第二个不等式成立。
公式：\inf(f+g) \le \inf f + \sup g
提示：两个不等式证明思路对称，一个用下界放缩，一个用上界放缩。
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