北京工业大学 2023年数学分析第2题

首先明确符号含义： - $C[a,b]$ 表示闭区间 $[a,b]$ 上所有连续函数的集合。 - $D[a,b]$ 表示闭区间 $[a,b]$ 上所有可导函数的集合（端点处考虑单侧导数）。 - $R[a,b]$ 表示闭区间 $[a,b]$ 上所有黎曼可积函数的集合。

若 $f \in D[a,b]$，则对任意 $x_0 \in [a,b]$，导数 $f'(x_0)$ 存在。由导数定义： $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0)$$ 因此 $$\lim_{x \to x_0} [f(x)-f(x_0)] = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0) = f'(x_0) \cdot 0 = 0$$ 故 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即 $f$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f \in C[a,b]$。

考虑函数 $f(x) = |x|$ 在区间 $[-1,1]$ 上。$f$ 在 $[-1,1]$ 上连续，但在 $x=0$ 处不可导，因为左导数为 $-1$，右导数为 $1$，两者不相等。因此 $f \in C[-1,1]$ 但 $f \notin D[-1,1]$，故 $D[a,b] \subsetneq C[a,b]$。

闭区间上的连续函数必一致连续（康托尔定理），从而黎曼可积。具体地，对任意分割，由于一致连续性，每个子区间上的振幅可以任意小，因此达布上和与达布下和之差可以任意小，满足黎曼可积的充要条件。故 $C[a,b] \subseteq R[a,b]$。

考虑函数 $g(x) = \begin{cases} 1, & x=0 \\ 0, & x \in (0,1] \end{cases}$ 在 $[0,1]$ 上。$g$ 在 $x=0$ 处不连续，但它在 $[0,1]$ 上只有一个间断点，因此黎曼可积（其积分值为 $0$）。故 $g \in R[0,1]$ 但 $g \notin C[0,1]$，所以 $C[a,b] \subsetneq R[a,b]$。

由前两步：$D[a,b] \subseteq C[a,b] \subseteq R[a,b]$，因此 $D[a,b] \subseteq R[a,b]$。又因为存在 $R[a,b]$ 中的函数（如上述 $g(x)$）既不连续也不可导，所以 $D[a,b] \neq R[a,b]$，即 $D[a,b] \subsetneq R[a,b]$。

综合以上分析，得到严格的包含关系： $$D[a,b] \subsetneq C[a,b] \subsetneq R[a,b]$$ 即：可导函数必连续，连续函数必黎曼可积，但反过来均不成立。

证明要点： 1. $D \subseteq C$：利用导数定义和极限性质。 2. $D \neq C$：反例 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。 3. $C \subseteq R$：闭区间上连续函数一致连续，从而可积。 4. $C \neq R$：反例 $g(x)$ 在单点处不连续但可积。 5. 传递性得 $D \subseteq R$，且 $D \neq R$ 由反例 $g$ 保证。