北京工业大学 2023年数学分析第1题

函数 \( h(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续，是指： \[ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon. \]

已知 \( f \) 和 \( g \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续。对于任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)： - 由 \( f \) 一致连续，存在 \( \delta_1 > 0 \)，使得当 \( |x_1 - x_2| < \delta_1 \) 时，有 \( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon/2 \)。 - 由 \( g \) 一致连续，存在 \( \delta_2 > 0 \)，使得当 \( |x_1 - x_2| < \delta_2 \) 时，有 \( |g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon/2 \)。 取 \( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \)，则当 \( |x_1 - x_2| < \delta \) 时，有： \[ |(f+g)(x_1) - (f+g)(x_2)| \leq |f(x_1)-f(x_2)| + |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \] 因此 \( f+g \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续。

一般来说，两个一致连续函数的乘积不一定一致连续。需要构造反例。 考虑 \( f(x)=x \) 和 \( g(x)=x \)。 首先验证 \( f(x)=x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续：对任意 \( \varepsilon>0 \)，取 \( \delta=\varepsilon \)，则当 \( |x_1-x_2|<\delta \) 时，\( |f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\varepsilon \)，故 \( f \) 一致连续。同理 \( g \) 一致连续。 但乘积 \( f(x)g(x)=x^2 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上不一致连续。反证：若 \( x^2 \) 一致连续，则对 \( \varepsilon=1 \)，存在 \( \delta>0 \)，对任意 \( x_1,x_2 \) 满足 \( |x_1-x_2|<\delta \) 时有 \( |x_1^2-x_2^2|<1 \)。取 \( x_1=N, x_2=N+\delta/2 \)，则 \( |x_1^2-x_2^2| = |2N\cdot\delta/2 + (\delta/2)^2| = N\delta + \delta^2/4 \)，当 \( N \) 足够大时该值大于1，矛盾。因此 \( x^2 \) 不一致连续。

1. \( f(x)+g(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续，证明已给出。 2. 乘积 \( f(x)g(x) \) 不一定一致连续，反例：\( f(x)=x, \ g(x)=x \)，它们都在 \( \mathbb{R} \) 上一致连续，但乘积 \( x^2 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上不一致连续。

取 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，令 $x = \frac{1}{\delta}$，$y = \frac{1}{\delta} + \frac{\delta}{2}$，则 $|x-y| = \frac{\delta}{2} < \delta$，但 $|x^2 - y^2| = |x-y||x+y| = \frac{\delta}{2} \cdot \left( \frac{2}{\delta} + \frac{\delta}{2} \right) = 1 + \frac{\delta^2}{4} > 1$。因此不存在公共的 $\delta$ 使 $|x^2-y^2|<1$ 对所有 $x,y$ 成立，故 $x^2$ 不一致连续。