北京工业大学 2023年数学分析第5题

设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上有定义且有界。将区间 \([a, b]\) 任意分割成 \(n\) 个小区间：\( a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \)，每个小区间长度为 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\)，并在每个小区间上任取一点 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\)，作和式 \( S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \)。如果当最大小区间长度 \(\lambda = \max\{\Delta x_i\} \to 0\) 时，这个和式的极限存在且与分割方式及 \(\xi_i\) 的取法无关，则称该极限为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分，记作 \(\int_a^b f(x)\, dx\)。几何意义：当 \(f(x) \ge 0\) 时，定积分表示曲线 \(y=f(x)\)、x轴以及直线 \(x=a\)、\(x=b\) 所围成的曲边梯形的面积。

设函数 \(f(x,y,z)\) 在空间有界闭区域 \(\Omega\) 上有定义且有界。将 \(\Omega\) 任意分割成 \(n\) 个小区域 \(\Delta V_1, \Delta V_2, \dots, \Delta V_n\)（每个小区域的体积记为 \(\Delta V_i\)），在每个小区域中任取一点 \((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作和式 \( S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i \)。如果当所有小区域的最大直径 \(\lambda \to 0\) 时，这个和式的极限存在且与分割方式及取点方式无关，则称该极限为 \(f(x,y,z)\) 在 \(\Omega\) 上的三重积分，记作 \(\iiint_\Omega f(x,y,z)\, dV\)。物理意义：当 \(f(x,y,z)\) 表示空间某点的体密度时，三重积分表示该空间区域 \(\Omega\) 的总质量。

定积分与三重积分的定义在思想上是完全一致的，共同点包括：1. 分割：将定义域（区间或空间区域）分割成若干小部分。2. 近似：在每个小部分上用函数在某点的值乘以该部分的“度量”（长度或体积），得到近似值。3. 求和：将所有小部分的近似值加起来。4. 取极限：当分割越来越细（最大度量趋于0）时，如果和式极限存在且唯一，就定义为积分。本质上，它们都是黎曼积分思想在不同维数上的推广。

线性性质内容：设 \(f,g\) 在 \(\Omega\) 上可积，\(c_1, c_2\) 为常数，则 \(\iiint_\Omega [c_1 f(x,y,z) + c_2 g(x,y,z)]\, dV = c_1 \iiint_\Omega f(x,y,z)\, dV + c_2 \iiint_\Omega g(x,y,z)\, dV\)。证明：对 \(\Omega\) 作任意分割，分成 \(n\) 个小区域 \(\Delta V_1, \dots, \Delta V_n\)，并在每个小区域上任取一点 \((\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\)，构造黎曼和。对于函数 \(c_1 f + c_2 g\)，有 \(\sum_{i=1}^n [c_1 f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) + c_2 g(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)] \Delta V_i\)。

根据加法与数乘的分配律，上式等于 \(c_1 \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta V_i + c_2 \sum_{i=1}^n g(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta V_i\)。

令所有小区域的最大直径趋于0，由于 \(f,g\) 可积，两个和式分别收敛到它们的三重积分，因此极限为 \(c_1 \iiint_\Omega f\, dV + c_2 \iiint_\Omega g\, dV\)。由定义，这个极限就是 \(c_1 f + c_2 g\) 的三重积分，因此等式成立。证毕。

对 $\Omega$ 作任意分割，得到 $n$ 个小区域 $\Delta V_i$，并任取点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \in \Delta V_i$，作和式 $$\begin{aligned} S_n &= \sum_{i=1}^n [\alpha f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) + \beta g(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)] \Delta V_i \\ &= \alpha \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i + \beta \sum_{i=1}^n g(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i. \end{aligned}$$ 令 $\lambda \to 0$，由于 $f$ 和 $g$ 可积，右边两项的极限存在，分别为 $\alpha \iiint_\Omega f \, dV$ 和 $\beta \iiint_\Omega g \, dV$。因此左边极限存在，且等于右边极限之和，即 $$\iiint_\Omega (\alpha f + \beta g) \, dV = \alpha \iiint_\Omega f \, dV + \beta \iiint_\Omega g \, dV.$$