北京工业大学 2023年数学分析第6题

题目要求证明两件事： 1. 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积的充要条件是：对任意 $c \in (a,b)$，$f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上都可积。 2. 当上述条件成立时，有积分区间可加性：$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$。 这本质上是定积分的区间可加性定理，需要从黎曼可积的定义出发进行证明。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。由黎曼可积的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $[a,b]$ 的一个分割 $P$，使得其达布上和 $U(P,f)$ 与达布下和 $L(P,f)$ 满足 $U(P,f) - L(P,f) < \varepsilon$。 取 $c \in (a,b)$，将分割 $P$ 细化为包含点 $c$ 的分割 $P'$。则 $P'$ 在 $[a,c]$ 上诱导出分割 $P_1$，在 $[c,b]$ 上诱导出分割 $P_2$。由于细化分割不会增大上和与下和之差（即 $U(P',f)-L(P',f) \le U(P,f)-L(P,f) < \varepsilon$），且 $U(P',f)-L(P',f) = [U(P_1,f)-L(P_1,f)] + [U(P_2,f)-L(P_2,f)]$，因此每个子区间上的差都小于 $\varepsilon$。故 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上均可积。

假设对某个 $c \in (a,b)$，$f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上均可积。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $[a,c]$ 上的分割 $P_1$ 和 $[c,b]$ 上的分割 $P_2$，使得： $U(P_1,f)-L(P_1,f) < \varepsilon/2$，$U(P_2,f)-L(P_2,f) < \varepsilon/2$。 将 $P_1$ 和 $P_2$ 合并（在点 $c$ 处连接），得到 $[a,b]$ 上的一个分割 $P$。则整个区间上的达布和之差为： $U(P,f)-L(P,f) = [U(P_1,f)-L(P_1,f)] + [U(P_2,f)-L(P_2,f)] < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$。 由可积的达布准则，$f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

由前两步，$f$ 在 $[a,b]$ 上可积等价于在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上可积。取一列包含点 $c$ 的分割 $\{P^{(n)}\}$，使得最大子区间长度趋于 $0$。对每个这样的分割，黎曼和可拆分为： $S(P^{(n)}, f) = S(P_1^{(n)}, f) + S(P_2^{(n)}, f)$， 其中 $P_1^{(n)}$ 是 $[a,c]$ 上的部分，$P_2^{(n)}$ 是 $[c,b]$ 上的部分。 当 $n \to \infty$ 时，左边趋于 $\int_a^b f(x) \, dx$，右边第一部分趋于 $\int_a^c f(x) \, dx$，第二部分趋于 $\int_c^b f(x) \, dx$。由极限的唯一性，得到等式成立。

我们已经完成了充要条件的双向证明： - 充分性：若 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。 - 必要性：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则对任意 $c \in (a,b)$，$f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上可积。 并在此基础上证明了积分区间可加性公式： $$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$$ 该性质是定积分的基本性质之一，在后续积分计算和理论推导中经常使用。