北京工业大学 2023年数学分析第7题
📝 题目
7、已知 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，设
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F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. }
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和要证明的结论
已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，定义 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$，需要证明 $F'(x) = f(x)$ 对任意 $x \in (a, b)$ 成立（端点处考虑单侧导数）。
公式：F(x) = \int_a^x f(t) \, dt
提示：注意 $F(x)$ 是积分上限函数，其定义域为 $[a, b]$。
步骤 2/7
目标：写出导数的定义式
根据导数的定义，$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$，其中 $h \neq 0$ 且 $x+h \in [a, b]$。
公式：F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}
提示：此处 $h$ 可正可负，但需保证 $x+h$ 仍在区间内。
步骤 3/7
目标：计算差分的分子部分
由 $F$ 的定义，$F(x+h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt = \int_x^{x+h} f(t) \, dt$。
公式：F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \, dt
提示：利用积分区间的可加性，将两个积分合并为一个区间上的积分。
步骤 4/7
目标：将差商表示为积分平均值
于是差商为 $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt$。
公式：\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt
提示：此式对 $h>0$ 和 $h<0$ 均成立，只需注意积分方向。
步骤 5/7
目标：应用积分中值定理
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由积分中值定理，存在介于 $x$ 与 $x+h$ 之间的点 $\xi_h$，使得 $\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(\xi_h) \cdot h$。
公式：\int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(\xi_h) \cdot h, \quad \xi_h \text{ 在 } x \text{ 与 } x+h \text{ 之间}
提示：中值定理要求 $f$ 连续，这里 $h$ 可正可负，定理仍然成立。
步骤 6/7
目标：化简差商并取极限
代入得 $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f(\xi_h)$。当 $h \to 0$ 时，$\xi_h \to x$，由 $f$ 的连续性得 $\lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)$。
公式：\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} f(\xi_h) = f(x)
提示：注意 $\xi_h$ 依赖于 $h$，但连续性保证了极限与路径无关。
步骤 7/7
目标：得出导数结论并说明端点情况
因此 $F'(x) = f(x)$ 对任意 $x \in (a, b)$ 成立。对于端点 $x=a$ 或 $x=b$，只需考虑单侧极限（$h \to 0^+$ 或 $h \to 0^-$），同样的推理可得单侧导数等于 $f(a)$ 或 $f(b)$。
公式：F'(x) = f(x), \quad x \in (a, b)
提示：在端点处，导数应理解为单侧导数，结论仍然成立。
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