北京工业大学 2023年数学分析第8题
📝 题目
8、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ 收玫，并求其值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断无穷积分的收敛性
积分区间为 $(-\infty, +\infty)$，被积函数 $f(x)=e^{-a x^{2}}$ 是偶函数，因此积分可化为 $2\int_{0}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx$。当 $x\to +\infty$ 时，$e^{-a x^{2}}$ 衰减速度比任何幂函数都快，且存在 $X>0$ 使得当 $x>X$ 时 $e^{-a x^{2}} \le e^{-a x}$，而 $\int_{X}^{+\infty} e^{-a x} dx$ 收敛（$a>0$），故无穷积分收敛。在 $x=0$ 附近函数连续有界，无瑕点。
公式：\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx = 2\int_{0}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx, \quad e^{-a x^{2}} \le e^{-a x} \ (x\text{充分大})
提示：注意偶函数性质的使用，以及比较判别法中选择合适的比较函数（如 $e^{-ax}$）来证明收敛性。
步骤 2/4
目标：利用变量代换化为标准高斯积分
令 $t = \sqrt{a}\,x$，则 $x = \frac{t}{\sqrt{a}}$，$dx = \frac{dt}{\sqrt{a}}$。当 $x$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 时，$t$ 也从 $-\infty$ 到 $+\infty$。代入原积分得：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} \cdot \frac{dt}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt$$
公式：t = \sqrt{a}\,x, \quad dx = \frac{dt}{\sqrt{a}}
提示：代换时注意 $dx$ 与 $dt$ 的关系，不要遗漏因子 $\frac{1}{\sqrt{a}}$。
步骤 3/4
目标：引用标准高斯积分结果并计算最终值
已知标准高斯积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt = \sqrt{\pi}$，代入上式得：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$
公式：\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}} dt = \sqrt{\pi}
提示：标准高斯积分的结果需要熟记，它是概率论和数学物理中的常用结论。
步骤 4/4
目标：验证结果的一致性
当 $a=1$ 时，积分值为 $\sqrt{\pi}$，与标准高斯积分一致；当 $a>0$ 时，$\sqrt{\pi/a}$ 为正实数，符合物理意义。因此结果正确。
公式：\left.\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx\right|_{a=1} = \sqrt{\pi}
提示：可以通过特例验证来检查计算是否正确，避免符号或系数错误。
步骤 5/5
目标：总结结论
无穷积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} dx$ 收敛，且其值为 $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$。
公式：$$\boxed{\sqrt{\frac{\pi}{a}}}$$
提示：注意 $a>0$ 是收敛的必要条件，若 $a \le 0$ 则积分发散。
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