北京工业大学 2023年数学分析第9题
📝 题目
9、求第二型曲面积分： $\displaystyle \iint_{S}\left(x z^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y+z^{4}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x +\left(3 x^{2}+4 y^{2}+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为椭球面
$$
x^{2}+2 x y+2 y^{2}+z^{2}=1 \text {, 方向取外侧. }
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用高斯散度定理，将曲面积分转化为三重积分
根据高斯散度定理，对于封闭曲面外侧的第二型曲面积分，有：
$$\iint_{S} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$
其中 $P = xz^2 + y^2$, $Q = x^2y + z^4$, $R = 3x^2 + 4y^2 + y^2z$。
公式：高斯散度定理：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
提示：使用高斯公式前需确认曲面封闭且方向为外侧，本题满足条件。
步骤 2/6
目标：计算散度并简化被积函数
分别计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = z^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = y^2$$
因此散度为：
$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = x^2 + y^2 + z^2$$
原曲面积分转化为三重积分：
$$\iiint_{V} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV$$
其中 $V$ 由椭球面 $x^2 + 2xy + 2y^2 + z^2 = 1$ 所围成。
公式：散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z^2$$
提示：注意 $R$ 对 $z$ 求导时，$y^2z$ 的导数为 $y^2$，其他项不含 $z$ 导数为0。
步骤 3/6
目标：通过正交变换化简椭球方程
椭球方程 $x^2 + 2xy + 2y^2 + z^2 = 1$ 的二次型部分对应矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
求特征值：
$$\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0$$
解得 $\lambda_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $\lambda_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$，第三个特征值为 $1$。
存在正交变换 $(u,v,w)^T = Q^T (x,y,z)^T$，使得二次型化为 $\lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 + w^2 = 1$，且正交变换保持 $x^2+y^2+z^2 = u^2+v^2+w^2$。积分变为：
$$\iiint_{V'} (u^2+v^2+w^2) \, du\,dv\,dw$$
其中 $V'$ 为 $\lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 + w^2 \le 1$。
公式：正交变换下：
$$x^2+y^2+z^2 = u^2+v^2+w^2, \quad dV = du\,dv\,dw$$
提示：正交变换不改变体积元和向量的模长，这是简化积分的关键。
步骤 4/6
目标：通过仿射变换将椭球区域变为单位球
令 $u = \frac{U}{\sqrt{\lambda_1}}$, $v = \frac{V}{\sqrt{\lambda_2}}$, $w = W$，则区域变为单位球 $U^2+V^2+W^2 \le 1$。
雅可比行列式为：
$$\left| \frac{\partial(u,v,w)}{\partial(U,V,W)} \right| = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9-5}{4}}} = 1$$
被积函数变为：
$$u^2+v^2+w^2 = \frac{U^2}{\lambda_1} + \frac{V^2}{\lambda_2} + W^2$$
积分化为：
$$\iiint_{U^2+V^2+W^2 \le 1} \left( \frac{U^2}{\lambda_1} + \frac{V^2}{\lambda_2} + W^2 \right) dU\,dV\,dW$$
公式：仿射变换：
$$u = \frac{U}{\sqrt{\lambda_1}}, \quad v = \frac{V}{\sqrt{\lambda_2}}, \quad w = W$$
雅可比行列式：
$$\left| J \right| = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}} = 1$$
提示：注意 $\lambda_1 \lambda_2 = 1$ 是巧合，简化了计算。
步骤 5/6
目标：利用对称性计算单位球上的三重积分
在单位球上，由对称性有：
$$\iiint U^2 dV = \iiint V^2 dV = \iiint W^2 dV = \frac{1}{3} \iiint (U^2+V^2+W^2) dV$$
计算 $\iiint (U^2+V^2+W^2) dV$：
使用球坐标 $(r,\theta,\phi)$，$U^2+V^2+W^2 = r^2$，体积元 $dV = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$：
$$\iiint r^2 \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 r^2 \cdot r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi = 4\pi \int_0^1 r^4 \, dr = 4\pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}$$
因此每个平方的积分为：
$$\frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi}{5} = \frac{4\pi}{15}$$
公式：球坐标积分：
$$\iiint_{r \le 1} r^2 \, dV = \frac{4\pi}{5}$$
对称性：
$$\iiint U^2 dV = \frac{1}{3} \iiint r^2 dV$$
提示：球坐标积分时注意 $r^2$ 来自被积函数，另一个 $r^2$ 来自体积元，合并为 $r^4$。
步骤 6/6
目标：组合结果得到最终答案
原积分 =
$$\frac{1}{\lambda_1} \cdot \frac{4\pi}{15} + \frac{1}{\lambda_2} \cdot \frac{4\pi}{15} + 1 \cdot \frac{4\pi}{15} = \frac{4\pi}{15} \left( \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} + 1 \right)$$
计算 $\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2} = \frac{3}{1} = 3$，括号内为 $3+1=4$。
因此结果为：
$$\frac{4\pi}{15} \times 4 = \frac{16\pi}{15}$$
公式：最终结果：
$$\boxed{\frac{16\pi}{15}}$$
提示：注意 $\lambda_1+\lambda_2 = 3$ 由特征方程二次项系数得到，$\lambda_1\lambda_2 = 1$ 由常数项得到。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。