北京工业大学 2025年数学分析第1题
📝 题目
1、（15 分）设 $\displaystyle p>1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}\right\}$ 收敛，且其极限 $a$
满足： $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \leq a \leq \frac{p}{p-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列单调递增
记 $S_n = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{n^p}$。对于任意正整数 $n$，有 $S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)^p} > S_n$，因此数列 $\{S_n\}$ 是严格单调递增的。
公式：S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)^p} > S_n
提示：注意 $p>1$ 保证每一项都是正数，单调性显然成立。
步骤 2/6
目标：利用积分比较法证明数列有上界
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x^p}$ 在区间 $[k, k+1]$ 上单调递减，因此有积分不等式：$\frac{1}{(k+1)^p} \le \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} dx \le \frac{1}{k^p}$。对 $k=1$ 到 $n-1$ 求和得：$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^p} \le \int_1^n \frac{1}{x^p} dx \le \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^p}$。左边即为 $S_n - 1$，右边为 $S_{n-1}$。计算积分：$\int_1^n x^{-p} dx = \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_1^n = \frac{1}{p-1} \left(1 - \frac{1}{n^{p-1}}\right) < \frac{1}{p-1}$。因此 $S_n - 1 < \frac{1}{p-1}$，即 $S_n < 1 + \frac{1}{p-1} = \frac{p}{p-1}$。数列有上界。
公式：\int_1^n x^{-p} dx = \frac{1}{p-1} \left(1 - \frac{1}{n^{p-1}}\right) < \frac{1}{p-1}
提示：积分比较法是处理正项级数敛散性和估计部分和范围的常用技巧，注意积分区间与求和项的对应关系。
步骤 3/6
目标：由单调有界定理得出数列收敛
数列 $\{S_n\}$ 单调递增且有上界 $\frac{p}{p-1}$，根据单调有界定理，该数列收敛。记其极限为 $a$，即 $\lim_{n \to \infty} S_n = a$。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = a
提示：单调有界定理是实数完备性的重要体现，是判断数列收敛的基本方法。
步骤 4/6
目标：证明下界不等式：$a \ge 1 + \frac{1}{2^{p-1}(p-1)}$
利用积分放缩法求下界。对于 $k \ge 2$，由于 $f(x)=\frac{1}{x^p}$ 递减，有 $\frac{1}{k^p} \ge \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} dx$。对 $k=2$ 到 $\infty$ 求和：$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^p} \ge \int_2^\infty x^{-p} dx$。计算右侧积分：$\int_2^\infty x^{-p} dx = \left[ \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \right]_2^\infty = \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{2^{p-1}}$。因此 $a - 1 = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^p} \ge \frac{1}{2^{p-1}(p-1)}$，即 $a \ge 1 + \frac{1}{2^{p-1}(p-1)}$。
公式：\int_2^\infty x^{-p} dx = \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{2^{p-1}}
提示：这里从 $k=2$ 开始放缩，避免了 $k=1$ 时积分区间 $[1,2]$ 与 $\frac{1}{1^p}=1$ 的比较问题，直接得到所需下界。
步骤 5/6
目标：证明上界不等式：$a \le \frac{p}{p-1}$
由第二步的推导，我们已经得到 $S_n < \frac{p}{p-1}$ 对所有 $n$ 成立。由于极限 $a$ 是数列的上确界（单调递增数列的极限等于其上确界），因此 $a = \sup\{S_n\} \le \frac{p}{p-1}$。
公式：a = \lim_{n\to\infty} S_n \le \frac{p}{p-1}
提示：单调递增数列的极限等于所有项的上确界，因此部分和的不等式可以直接传递给极限。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上步骤，数列 $\left\{1+\frac{1}{2^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}\right\}$ 收敛，其极限 $a$ 满足不等式：$1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \le a \le \frac{p}{p-1}$。
公式：1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \le a \le \frac{p}{p-1}
提示：注意 $p>1$ 是保证积分收敛和不等式成立的关键条件。
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