北京工业大学 2025年数学分析第2题

令 $f(x)=\frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}$，其定义域为 $x\neq 1,2,3$。在区间 $(1,2)$ 和 $(2,3)$ 内，分母均不为零，因此 $f(x)$ 在这些区间上连续。

当 $x\to 1^+$ 时，$x-1\to 0^+$，$\frac{5}{x-1}\to +\infty$；$\frac{7}{x-2}\to \frac{7}{-1}=-7$；$\frac{16}{x-3}\to \frac{16}{-2}=-8$。因此 $\lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty$。 当 $x\to 2^-$ 时，$x-2\to 0^-$，$\frac{7}{x-2}\to -\infty$；$\frac{5}{x-1}\to \frac{5}{1}=5$；$\frac{16}{x-3}\to \frac{16}{-1}=-16$。因此 $\lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$。

由于 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内连续，且 $\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty>0$，$\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty<0$，由连续函数的介值定理（零点定理），存在至少一点 $\xi_1\in(1,2)$，使得 $f(\xi_1)=0$。

当 $x\to 2^+$ 时，$x-2\to 0^+$，$\frac{7}{x-2}\to +\infty$；$\frac{5}{x-1}\to \frac{5}{1}=5$；$\frac{16}{x-3}\to \frac{16}{-1}=-16$。因此 $\lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty$。 当 $x\to 3^-$ 时，$x-3\to 0^-$，$\frac{16}{x-3}\to -\infty$；$\frac{5}{x-1}\to \frac{5}{2}=2.5$；$\frac{7}{x-2}\to \frac{7}{1}=7$。因此 $\lim_{x\to 3^-} f(x)=-\infty$。

由于 $f(x)$ 在 $(2,3)$ 内连续，且 $\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty>0$，$\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty<0$，由零点定理，存在至少一点 $\xi_2\in(2,3)$，使得 $f(\xi_2)=0$。

因此，方程 $\frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在 $(1,2)$ 与 $(2,3)$ 内至少各有一个实根。

由于 $f(x)$ 在 $(2,3)$ 内连续，且存在 $c \in (2,3)$ 使得 $f(c) > 0$，存在 $d \in (2,3)$ 使得 $f(d) < 0$，根据零点定理，至少存在一个 $\xi_2 \in (2,3)$ 使得 $f(\xi_2) = 0$。因此原方程在 $(1,2)$ 与 $(2,3)$ 内至少各有一个实根。

因此，方程 $\frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在区间 $(1,2)$ 与 $(2,3)$ 内至少各有一个实根。